图形的位似变换-九年级数学上册同步课堂帮帮帮（沪科版）

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22.4 图形的位似变换
知识点一　位似图形的概念
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，这样的相似变换叫做位似变
换，这样的两个多边形叫做位似图形，每组对应顶点的连线都经过的点叫做位似中心．
知识点二　位似图形的性质
位似图形除了具有相似图形的性质外，还有以下性质：
(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
(2)不经过位似中心的对应线段互相平行．
知识点三　位似图形的画法
画位似图形的步骤如下：①确定位似中心；
②作过图形上各点与位似中心的射线；
③按位似比取点；
④顺次连接各点．
所得的图形就是所求作的图形．
知识点四　平面直角坐标系中图形的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为 k，那么位似图形
对应点的坐标的比等于 k或－k.
帮—重点 位似图形性质应用
帮—难点 平面直角坐标系中图形的位似变换
帮—易错 对位似图形的定义理解不透彻而致错
知识点一　位似图形的概念
例1　如图所示，指出下列各组图形：(1)中指两个三角形，(2)中指内、外两层花瓣，(4)
中指两个矩形，它们是不是位似图形？若是，指出位似中心．
1
解析：根据位似图形的定义判断，位似图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在直线
相交于同一点．
答案：(1)(2)(4)中的两个图形都是位似图形，位似中心分别为点 A，P，O；(3)中的两个
图形不是位似图形．
注意：位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，因而判断是否为位似图形，首先要看
它们是否相似，再看对应点连线是否经过同一点．
知识点二　位似图形的性质
例2　如图所示，五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′是位似图形，且＝.若五边
形ABCDE 的面积为 17cm2，周长为 20cm，求五边形 A′B′C′D′E′的面积和周长．
解析：利用位似比等于相似比、周长之比等于相似比、面积之比等于相似比的平方来求
解．
解：∵五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′是位似图形，
∴五边形 ABCDE∽五边形 A′B′C′D′E′.
由＝得＝.
∴＝()2，∴＝.
又∵五边形 ABCDE 的面积为 17cm2，周长为 20cm，∴五边形 A′B′C′D′E′的面积
为cm2，周长为 10cm.
注意：本例主要应用位似图形是特殊的相似图形这一性质，将位似多边形转化为相似多
边形，再应用相似多边形的性质列比例式求解．
知识点三　位似图形的画法
例3　画一个三角形，使它与已知△ABC 位似(如图)，且原三角形与所画三角形的位似比
为3∶1.
2
解：作法一：(平行截取法)在AB 上取一点 D，使 AD＝AB，过点 D作DE∥BC，交 AC
于点 E，则△ADE 即为所求，如图(1)．
作法二：(反向延长法)延长 CA 到点 C′，使得 AC′＝AC，延长 BA 到点 B′，使得 AB
′＝AB，则△AB′C′即为所求，如图(2)．
作法三：(位似图形法)任取一点 O，连接 OA，OB，OC.取OA，OB，OC 的三等分点 A
′，B′，C′(靠近 O的点)，连接 A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求，
如图(3)．
注意：本题作图方法很多，注意这几种画法要根据题目的要求进行选择．
知识点四　平面直角坐标系中图形的位似变换
例4　已知△ABC 三个顶点的坐标如下表：
(x，y)(2x,2y)
A(2,1) A′(4,2)
B(4,3) B′(______，______)
C(5,1) C′(______，______)
(1)将上表补充完整，并在如图的平面直角坐标系中画出△A′B′C′；
(2)观察△ABC 与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
解：(1)表格如下.
(x，y)(2x,2y)
A(2,1) A′(4,2)
B(4,3) B′(8，6)
3
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