四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学第二轮专题复习：与函数有关的新定义问题（含答案）

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四川省渠县崇德实验学校 2020 年中考九年级数学第二轮

专题复习：与函数有关的新定义问题

1．实数 x、y若存在坐标(x，y)同时满足一次函数 y＝px＋q

和反比例函数 y＝，则二次函数 y＝px2＋qx－k为一次函数和

反比例函数的“共享”函数.

(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数 y＝－x＋4和反比

例函数 y＝是否存在“共享”函数？若存在，写出它们的

“共享”函数和实数对坐标；

(2)已知整数 m、n、t满足条件：t<n<8m，并且一次函数 y＝

(1＋n)x＋2m＋2与反比例函数 y＝存在“共享”函数 y＝(m

＋t)2＋(10m－t)x－2018，求整数 m的值；

(3)若同时存在两组实数对坐标(x1，y1)和(x2，y2)使一次函数 y

＝ax＋2b和反比例函数 y＝－存在“共享”函数，其中实数

a>b>c，a＋b＋c＝0，令 L＝|－|，求 L的取值范围．

解：(1)令－x＋4＝，解得 x＝1或x＝3，y＝－x＋4和y＝是

“共享”函数，实数对坐，标为(1，3)和(3，1)；

(2)y＝(1＋n)x＋2m＋2与y＝的“共享”函数是 y＝(1＋n)x2＋

(2m＋2)x－2018，

由题意得，y＝(1＋n)x＋2m＋2与y＝的“共享”函数为 y＝

(m＋t)x2＋(10m－t)x－2018，

∴，即，

又∵t<n<8m，∴8m－2<9m－3<8m，m为整数，

∴ m＝2；

(3)y＝ax＋2b和y＝－存在“共享”函数为 y＝ax2＋2bx＋c，

则a、b、c满足，

，即 ,∴－2<<－.

L2＝(－)2＝＝＝＝4＝4(＋＋1)＝4( )2＋3,

∵－2<<－, 3<∴L2<12，∴<L<2.

2．对平面直角坐标系中的点 P(x，y)，定义 d＝|x|＋|y|，我们

称d为P(x，y)的幸福指数．对于函数图象上任意一点

P(x，y)，若它的幸福指数 d≥1 恒成立，则称此函数为幸福函

数，如二次函数 y＝x2＋1就是一个幸福函数，理由如下：

设P(x，y)为y＝x2＋1上任意一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|x2＋1|，

∵x≥0，|x2＋1|＝x2＋1≥1, ∴d≥1. ∴y＝x2＋1是一个幸福函数．

(1)若点 P在反比例函数 y＝的图象上，且它的幸福指数 d＝

2，请直接写出所有满足条件的 P点坐标；

(2)一次函数 y＝－x＋1是幸福函数吗？请判断并说明理由；

(3)若二次函数 y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m(m>0)是幸福函数，

试求出 m的取值范围．

解：(1)设点 P的坐标为(m，)，

∴d＝|m|＋||＝2，

解得：m1＝－1，m2＝1，

经检验，m1＝－1,m2＝1是原分式方程的解，

∴满足条件的 P点坐标为(－1，－1)或(1，1)；

(2)一次函数 y＝－x＋1是幸福函数，理由如下：

设P(x，y)为y＝－x＋1上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|－x＋

1|；

x<0 时，d＝|x|＋|－x＋1|＝－x－x＋1＝1－2x>1；

当0≤x≤1 时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x－x＋1＝1；

当x>1 时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x＋x－1＝2x－1>1.

∴对于 y＝－x＋1上任意一点 P(x，y)，它的幸福指数 d≥1 恒

成立，

∴一次函数 y＝－x＋1是幸福函数；

(3)设P(x，y)为y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一点，d＝|x|＋|

y|＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|，

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