锐角三角函数-九年级数学上册同步课堂帮帮帮（沪科版）

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23.1 锐角三角函数

知识点一　正切的定义

在Rt△ABC 中，把锐角 A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 tanA，即 tanA＝.

知识点二　坡度(坡比)、坡角

定义：如图，坡面的铅直高度 h和水平长度 l的比叫坡度(或坡比)，坡度一般用 i表示．坡面与水平面

的夹角 α叫做坡角．

i＝tanα＝.

注意：(1)坡度的大小只与坡角 α的大小有关，与坡面的长短无关．

(2)坡度即是坡角 α的正切值，这一关系在解题过程应用广泛．

知识点三　正弦、余弦的定义

在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角 A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sinA.即sinA＝.

在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角 A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 cosA.即cosA＝.

知识点四　锐角的三角函数

定义：锐角 A的正弦、余弦、正切都叫做锐角 A的三角函数．

注意：(1)正弦、余弦的概念是类比正切得到的，它们的本质都是两条线段长度的比值，是数值，没有

单位，只与角的大小有关．

(2) 由于直角三角形的斜边长大于直角边长，且各边长均为正数，所以有 0<<1,0<<1 ，所以

0<sinA<1,0<cosA<1.

(3)根据正弦、余弦的概念，我们既可以求锐角的正弦值、余弦值，也可以根据已知的正弦值、余弦值

求线段的长．

知识点五　30°，45°，60°角的三角函数值

熟记 30°，45°，60°角的三角函数值.

30° 45° 60°

sinα

cosα

tanα1

注意：由上表可以看出这样一个规律：30°，45°，60°角的正弦值分子依次是，，，分母都是 2，所以

一个锐角的正弦值随角度的增大而增大；

30°，45°，60°角的余弦值恰好分别是 60°，45°，30°角的正弦值，即分子依次是，，，分母都是 2，所

以锐角的余弦值随角度的增大而减小；

30°，45°，60°角的正切值分母可看作是 3，分子依次是，，，所以锐角的正切值随角度的增大而增大．

可简记为“正增余减”．

知识点六　互余两角三角函数的关系

通过对比特殊角的正弦、余弦之间的关系，根据锐角三角函数的概念我们可以得到互余两角的正弦、

余弦之间的关系：任意锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值，可以表示为：

(1)sinA＝cos(90°－A)，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；

(2)cosA＝sin(90°－A)，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

(3)tanA＝，即一个锐角的正切值等于它的余角的正切值的倒数．

知识点七　利用计算器求锐角的三角函数值

用计算器进行数学运算是我们应该掌握的一种技能，而用计算器求一般锐角的三角函数值则会给我们

计算三角函数值带来很大方便．

计算器上只要有 sin，cos，tan 键，就可以用来求锐角的三角函数值．计算器显示的是三角函数值的

近似值，不同计算器给出近似值的数字个数也不同．不同计算器的按键方法各有不同，本书介绍的这种计

算器，先按 ON/C 键，再按 MODE 键，使显示器屏幕出现“DEG”，然后再按有关三角函数的键．

注意：0°，90°的三角函数值如下表：

αsinαcosαtanα

0° 0 1 0

90° 1 0 不存在

请用计算器验证以上结果，然后正确识记．

知识点八　已知三角函数值，用计算器求锐角的度数

一般地，计算器中都有 sin－1，cos－1，tan－1键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数的功能

键．已知—个锐角的正弦值、余弦值或正切值，求锐角时，要用到 2ndF，sin－1，cos－1，tan－1键．

知识点九　三角函数的大小比较

在锐角范围内正弦、正切随着角度的增大而增大；余弦随着角度的增大而减小．

帮—重点三角函数的定义

帮—难点利用三角函数定义解题

帮—易错对锐角三角函数的定义理解不透彻

应用互余两角的三角函数关系时，书写格式出现错误

例1　如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，若 AC＝2，AB＝3，求 tan∠BCD 的值．

解析：本题有两种解法：一种是在 Rt△BCD 中求 tan∠BCD，这需要我们利用△BCD∽△BAC 求出

△BCD 的两直角边长；一种是利用∠BCD＝∠A的关系，在 Rt△ABC 中求 tanA(即tan∠BCD)．

解：解法一：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得 BC＝＝，

∵∠DBC＝∠ABC，∠BDC＝∠ACB＝90°，

∴△BCD∽△BAC，

∴＝＝，即＝＝ .

解得 BD＝，CD＝2.

∴tan∠BCD＝＝.

解法二：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得 BC＝＝，

∵∠BCD＋∠ACD＝∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A.

∴tan∠BCD＝tanA＝＝＝.

注意：对比以上两种解法，可知解法二更简单一些，因此在解题过程中，可把求一个角的正切值转化

为求与它相等的角的正切值．

例2　河堤横断面如图，堤高 BC＝6米，迎水坡 AB 的坡比为 1∶，则 AB 的长为(　　　)

A．12 米　　　B．4米　 C．5米　 D．6米

解析：先由坡比的定义，得 BC∶AC＝1∶.由BC＝6米，可得 AC＝6米．由勾股定理，得 AB＝＝12

米．

答案：A

例3　如图(1)，网格中的每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的每个顶点都在网格的交点处，则 sinA

＝________.

解析：如图(2)，过点 A作AD⊥BC 于点 D，过点 C作CE⊥AB 于点 E，由勾股定理，得 AB＝AC＝

2，BC＝2，AD＝3，可以得知△ABC 是等腰三角形，由△ABC 的面积公式，得 BC·AD＝AB·CE，∴CE＝

＝，∴sinA＝＝＝.

答案：

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