人教版数学九年级上学期期末备考压轴题培优：二次函数（含答案）

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期末备考压轴题培优：二次函数

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点 B的坐标为（﹣1，0），且 OA＝OC＝4OB，抛物

线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过 A，B，C三点．

（1）求 A，C两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点 P是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD⊥AC 于点 D，当 PD 的值最

大时，求此时点 P的坐标及 PD 的最大值．

2．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+2 的图象与 x轴交于 A（ ﹣

3，0），B（1，0）两点，与 y轴交于点 C．

（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时 y＜0？

（2）点 P是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存

在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点 M为抛物线上一动点，在 x轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由．

3．在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c过点 A（﹣1，0），B（3，0），与 y轴交

于点 C，连接 AC，BC，将△OBC 沿BC 所在的直线翻折，得到△DBC，连接 OD．

（1）用含 a的代数式表示点 C的坐标．

（2）如图 1，若点 D落在抛物线的对称轴上，且在 x轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设△OBD 的面积为 S1，△OAC 的面积为 S2，若＝，求 a的值．

4．如图，已知直线 y＝﹣3x+3 与x轴交于点 A，与 y轴交于点 C，抛物线 y＝ax2+bx+c经过

点A和点 C，对称轴为直线 l：x＝﹣1，该抛物线与 x轴的另一个交点为 B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点 P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC 的面积最大值及点 P的坐标．

（3）点 M在此抛物线上，点 N在对称轴上，以 B、C、M、N为顶点的四边形能否为平

行四边形？若能，写出所有满足要求的点 M的坐标；若不能，请说明理由．

5．如图，抛物线 y＝x2+bx+c与轴交于点 A和点 B，与 y轴交于点 C，作直线 BC，点 B

的坐标为（6，0），点 C的坐标为（0，﹣6）．

（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；

（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求 D点

坐标；

（3）若 E为y轴上且位于点 C下方的一点，P为直线 BC 上的一点，在第四象限的抛物

线上是否存在一点 Q．使以 C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出 Q点

的横坐标；若不存在，请说明理由．

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