人教版九年级中考数学复习压轴专题：二次函数（解析版）

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2020 年中考数学压轴专题：
《二次函数》
1. 如图，平面直角坐标系中，点
A
、点
B
在
x
轴上（点
A
在点
B
的左侧），点
C
在第一
象限，满足∠
ACB
为直角，且恰使△
OCA
∽△
OBC
，抛物线
y
＝
ax
2﹣8
ax
+12
a
（
a
＜0）经过
A
、
B
、
C
三点．
（1） 求线段
OB
、
OC
的长．
（2） 求点
C
的坐标及该抛物线的函数关系式；
（3）
在
x
轴上是否存在点
P
，使△
BCP
为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的
P
点的坐标：若不存在，请说明理由．
解：（1）
y
＝
ax
2﹣8
ax
+12
a
＝
a
（
x
﹣6）（
x
﹣
2），故
OA
＝2，
OB
＝6，
△
OCA
∽△
OBC
，则
，即：
OC
2＝
OA
•
OB
，
解得：
CO
＝2
；
（2） 过点
C
作
CD
⊥
x
轴于点
D
，
△OCA∽△OBC ，则 ，
设
AC
＝2
x
，则
BC
＝2
x
，而
AB
＝4，
故 16＝（2
x
）2+（2
x
）2，解得：
x
＝1，
故
AC
＝2，
BC
＝2 ，
S
△
ABC
＝
AB
×
CD
＝
AC
×
BC
，解得：
CD
＝ ，
故
OD
＝3，
故点
C
（3， ）；
将点
C
的坐标代入抛物线表达式并解得：
a
＝﹣ ，
故抛物线的表达式为：
y
＝﹣
x
2
+
x
﹣4 ；
（3） 设点
P
（
m
，0），而点
B
、
C
的坐标分别为：（6，0）、（3，
）；则
BC
2＝12，
PB
2＝（
m
﹣6）2，
PC
2＝（
m
﹣3） 2+3，
当
BC
＝
PB
时，12＝（
m
﹣6）2，解得：
m
＝6 ；
当
BC
＝
PC
时，同理可得：
m
＝6（舍去）或 0；
当
PB
＝
PC
时，同理可得：
m
＝4，
综上点
P
的坐标为：（6 ，0）或（0，0）或（4，0）．
2. 直线
y
＝﹣
x
+2 与
x
轴交于点
A
，与
y
轴交于点
B
，抛物线
y
＝﹣
x
2+
bx
+
c
经过
A
、
B
两点．
（1） 求这个二次函数的表达式；
（2） 若
P
是直线
AB
上方抛物线上一点；
①当△
PBA
的面积最大时，求点
P
的坐标；
②在①的条件下，点
P
关于抛物线对称轴的对称点为
Q
，在直线
AB
上是否存在点
M
，使
得直线
QM
与直线
BA
的夹角是∠
QAB
的两倍？若存在，直接写出点
M
的坐标；若不存在，
请说明理由．
解：（1）直线
y
＝﹣
x
+2 与
x
轴交于点
A
，与
y
轴交于点
B
，则点
A
、
B
的坐标分
别为：
（4，0）、（0，2），
将点
A
、
B
的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为：
y
＝﹣
x
2+
x
+2；
（2）①过点
P
作
y
轴的平行线交
BC
于点
N
，设
P
（
m
，﹣
m
2+
m
+2），点
N
（
m
，﹣
m
+2），
则：△
PBA
的面积
S
＝
PN
×
OA
＝ ×4×（﹣
m
2
+
m
+2+
m
﹣2）＝﹣
m
2+
4
m
， 当
m
＝2 时，
S
最大，此时，点
P
（2，5）；
②点
P
（2，5），则点
Q
（ ，5），设点
M
（
a
，﹣
a
+2）；
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