七年级数学重点知识讲解（沪教版）第15讲 比例的应用（解析版）

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第 15 讲 比例的应用
【学习目标】
比例的应用是对比例的意义和性质的应用拓展，重点在于灵活的根据题意寻找比例关系，然后利用比
例的意义和基本性质进行解题．其中，方程的思想尤为重要．比例的应用题实际上是分数应用题的另一种
表达方式，而且熟练掌握比例的应用对于之后学习百分比的应用也有一定的帮助作用．
【基础知识】
一：根据比例的意义和性质
1.根据比例的意义和性质解题
根据 ，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值．如： ．
简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用比例的
性质，求解未知量．
2.比例尺
比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．
即：比例尺 = 图上距离 : 实际距离．
二：和差关系与比例分配
1.已知两个量的数量比与数量和
两个量
A
、
B
，数量之比为
a
:
b
，数量之和为
x
，则
A
的数量为 ，
B
的数量为 ．
2.已知两个量的数量比与数量差
两个量
A
、
B
，数量之比为
a
:
b
（ ），数量之差为
x
，则
A
的数量为 ，
B
的数量为 ．
3.设
k
法
若
A
:
B
=
a
:
b
，可设
A
=
ak
，
B
=
bk
，其中 ，那么：
， ．
【考点剖析】
考点一：根据比例的意义和性质
例1．用比例的方法解答：
（1）10 元钱可以买 6 个橙子，现要买 21 个橙子，需要多少钱？
（2）10 元钱可以买 6 个橙子，现共有 25 元，能买多少个橙子？
【难度】★
【答案】（1）35 元；（2）15 个．
【解析】（1）设买 21 个橙子，需要 元．由题意可得 ，解得 ．
（2）设有 25 元，能买 个橙子．由题意可得 ，解得 ．
答：要买 21 个橙子，需要 35 元；有 25 元，能买 15 个橙子．
【总结】本题考查了正、反比例应用题，解答此题的关键是，先判断题中的两种相关的量成何比例，即两
个量的乘积是定值则这两个量成反比例，两个量的比值是定值则这两个量成正比例，然后找准对应量，列
1
式解答即可．
例2．火车站的检票口 5 分钟通过 205 人，那么 1230 位乘客全部通过检票口需要______分钟．
【难度】★
【答案】30．
【解析】设 1230 位乘客全部通过检票口需要 分钟．由题意可得 ，解得 ．
【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．
例3．15 本相同厚度的练习本叠起来，总高度为 20 厘米．如果将 21 本这样的练习本叠起来，那么
总高度为多少？
【难度】★
【答案】28 厘米．
【解析】设总高度为 厘米．由题意可得 ，解得 ．
答：总高度为 28 厘米．
【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．
例4．小明读一本书，如果每天读 30 页，6 天可以读完，若每天读 20 页，需要多少天才能读完？试
说明读的天数之比与每天读的页数之比有怎样的关系．
【难度】★
【答案】9 天；天数之比与页数之比成反比．
【解析】设需要 天才能读完．
由题意可得 ，解得 ．天数之比与页数之比成反比．
【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．
例5．小明的身高是 1.45 米，他的影长是 2 米，在同一时间、同一地点测得一棵树影长 4 米，则这
棵树实际高______米．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】设这棵树实际高 米，则 ，解得 ．
答：这棵树实际高 米．
【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．
例6．一幅地图的比例尺是 1:1000000，图上 6 厘米表示实际距离______千米．实际距离 150 千米在
图上要画______厘米．
【难度】★★
【答案】 ， ．
【解析】设图上 6 厘米表示实际距离 厘米，则 ，解得
厘米 千米；
设实际距离 150 千米在图上要画 厘米，则
，解得 ，
∴6 厘米表示实际距离 60 千米，实际距离 150 千米在图上要画 15 厘米．
【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
2
例7．上海到北京的实际距离大约等于 1100 千米，在一幅地图上量得两地的距离为 5.5 厘米，则这
幅地图的比例尺为____________．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】1100 千米=110000000 厘米，∴比例尺为 ．
【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
例8．某机床厂制造一批机床，3 天生产了 21 台，结果再生产 12 天就完成了任务，则这批机床共有
多少台？
【难度】★★
【答案】105 台．
【解析】设这批机床共有 台，则 ，解得 ．
答：这批机床共有 105 台．
【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．
例9．某工厂有一批煤，原计划每天烧12 吨，可以烧50 天，采取了节能措施后，每天比原计划节
约 ，问这批煤可以烧多少天？
【难度】★★
【答案】 天．
【解析】节约后每天用煤（吨），设这批煤可以烧天，则
，解得 ．
答：这批煤可以烧天．
【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．
例10．飞机每小时飞行 480 千米，汽车每小时行驶90 千米，飞机飞行 小时的路程，汽车要行驶
多少小时？试说明在路程相等的情况下，速度之比与时间之比的关系．
【难度】★★
【答案】24 小时，在路程相等的情况下，速度之比与时间之比成反比．
【解析】设汽车要行驶小时，则 ，解得 ．
， ，
∴
【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．
例11．已知 的三边之比为 2 : 3 : 4，则相应三边上的高之比为____________．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】∵三边之比为 2 : 3 : 4，
3
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