七年级数学下册举一反三系列（沪科版）专题1.8 期末满分计划之大题压轴重难点题型（解析版）

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专题 1.8 期末满分计划之大题压轴重难点题型
【沪科版】
【题型 1 平行线的判定与性质综合】
【例 1】（2020 春•石泉县期末）已知直线 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 A、C，CM 是∠ACD 的
平分线，CM 交AB 于点 H，过点 A作AG⊥AC 交CM 于点 G．
（1）如图 1，点 G在CH 的延长线上时，若∠GAB＝36°，求∠MCD 的度数；
（2）如图 2，点 G在CH 上时，试说明 2∠MCD+∠GAB＝90°．
【分析】（1）依据 AG⊥AC，∠GAB＝36°，可得∠CAH 的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性
质，即可得到∠MCD 的度数；
（2）结合（1）得 ACD+∠CAH＝180°，再依据角平分线的定义，即可得 2∠MCD+∠GAB＝90°．
【解答】解：（1）∵AG⊥AC，∠GAB＝36°，
∴∠CAH＝90° 36°﹣＝54°，
∵AB∥CD，
1
∴∠ACD+∠CAH＝180°，
∴∠ACD＝126°，
∵CM 是∠ACD 的平分线，
∴∠ACH＝∠DCM＝63°．
（2）∵∠ACH＝∠DCM，
∴∠ACD＝2∠MCD，
由（1）得∠ACD+∠CAH＝180°，
∵AG⊥AC，
∴∠CAG＝90°，
∴2∠MCD+90°+∠GAB＝180°，
∴2∠MCD+∠GAB＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．
【变式 1-1】（2020 春•中山市期末）如图，已知 AB∥CD，直线 EF 与AB、CD 分别交于点 EF，点 P是射
线EB 上一点（与点 E不重合）．FM、FN 分别平分∠PFE 和∠PFD，FM、FN 交直线 AB 于点 M、N，
过点 N作NH⊥FM 于点 H．
（1）若∠BEF＝64°，求∠FNH 的度数；
（2）猜想∠BEF 和∠FNH 之间有怎样的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BEF+∠EFD＝180°，代入求出∠EFD 的度数，根据角平分线的
定义得出∠MFP
¿1
2
∠
EFP，∠NFP
¿1
2
∠PFD
，求出∠MFN
¿1
2
∠
EFD，根据垂直的定义得出∠NHF
＝90°，根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠BEF+∠EFD＝180°，代入求出∠EFD 的度数，根据角平分线的定义得出
∠MFP
¿1
2
∠
EFP，∠NFP
¿1
2
∠PFD
，求出∠MFN
¿1
2
∠
EFD，根据垂直的定义得出∠NHF＝90°，根
据三角形的内角和定理求出即可．
2
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵∠BEF＝64°，
∴∠EFD＝180° 64°﹣＝116°，
∵FM、FN 分别平分∠PFE 和∠PFD，
∴∠MFP
¿1
2
∠
EFP，∠NFP
，
∴∠MFN
¿1
2
（∠EFP+∠PFD）
¿1
2
∠
EFD
¿1
2×116 °=¿
58°，
∵NH⊥FM，
∴∠NHF＝90°，
∴∠FNH＝180°﹣∠NHF﹣∠HFN＝180° 90° 58°﹣ ﹣ ＝32°；
（2）∠BEF＝2∠FNH，
证明：设∠BEF＝x°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵∠BEF＝x°，
∴∠EFD＝180°﹣x°，
∵FM、FN 分别平分∠PFE 和∠PFD，
∴∠MFP
¿1
2
∠
EFP，∠NFP
，
∴∠MFN
¿1
2
（∠EFP+∠PFD）
¿1
2
∠
EFD
¿1
2×
（180°﹣x°）＝90°
−1
2
x°，
∵NH⊥FM，
∴∠NHF＝90°，
∴∠FNH＝180°﹣∠NHF﹣∠HFN＝180° 90°﹣ ﹣（90
°−1
2
x°）
¿1
2
x°，
即∠BEF＝2∠FNH．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点，能综
合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，求解过程类似．
【变式 1-2】（2020 春•邳州市期末）已知：点 A在射线 CE 上，∠C＝∠D．
（1）如图 1，若 AC∥BD，求证：AD∥BC．
3
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