练习4 绝对值与相反数-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】七年级数学（苏科版）（解析版）

3.0 envi 2025-04-19 4 4 100.3KB 11 页 3知币
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练习 4 绝对值与相反数
1．阅读下面的例题：
我们知道|x|＝2，则 x＝±2
请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．
（1）|x+3|＝2，则 x＝　﹣ 5
或﹣ 1 　 ；
（2）5 |﹣x4|﹣＝2，则 x＝　 1
或
7 　 ．
【分析】（1）根据绝对值解答即可；
（2）根据绝对值的非负性解答即可．
【解答】解：（1）因为）|x+3|＝2，则 x＝﹣5或﹣1；
（2）因为 5 |﹣x4|﹣＝2，
可得：|x4|﹣＝3，
解得：x＝1或7；
故答案为：（1）﹣5或﹣1（2）1或7
【点评】此题考查绝对值，关键是根据绝对值的非负性和概念解答．
2．【观察与归纳】
（1）观察下列各式的大小关系：
| 2|+|3|﹣＞| 2+3|﹣
| 8|+|3|﹣＞| 8+3|﹣
| 2|+| 3|﹣ ﹣ ＝| 2 3|﹣ ﹣
|0|+| 6|﹣＝|0 6|﹣
归纳：|a|+|b|　≥　|a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）
【理解与应用】
（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，求 m的值．
【分析】（1）根据提供的关系式得到规律即可；
（2）根据（1）中的结论分当 m为正数，n为负数时和当 m为负数，n为正数时两种情况分类讨论即可
确定答案．
【解答】解：（1）根据题意得：|a|+|b|≥|a+b|，
故答案为：≥；
（2）由上题结论可知，因为|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，|m|+|n|≠|m+n|，所以 m、n 异号．
当m为正数，n为负数时，m﹣n＝9，则 n＝m9﹣，|m+m9|﹣＝1，m＝5或4；
当m为负数，n为正数时，﹣m+n＝9，则 n＝m+9，|m+m+9|＝1，m＝﹣4或﹣5；
综上所述，m为±4 或±5．
【点评】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意分类讨论解决问题，难度不大．
3．已知|3x2|+|﹣y4|﹣＝0，求|6x﹣y|的值．
【分析】根据非负数的性质列式求出 x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，3x2﹣＝0，y4﹣＝0，
解得 x
¿2
3
，y＝4，
所以，|6x﹣y|＝|6
×2
3
−
4|＝|4 4|﹣＝0，
即|6x﹣y|的值是 0．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为 0时，这几个
非负数都为 0．
4．阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x2|﹣取最小值时，相应的 x取值范围是　﹣ 1≤ x ≤2 　 ，最小值是　 3 　 ”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2 和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2 时，值最小为 3．请你根据
他们的解题解决下面的问题：
①当式子|x2|+|﹣x4|+|﹣x6|﹣取最小值时，相应 x＝　 4 　 ，最小值是　 4 　 ．
②已知 y＝|2x+8| |4﹣x+2|，求相应的 x的取值范围及 y的最大值，写出解答过程．
【分析】阅读理解：根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；
（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；
（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．
【解答】解：阅读理解：当式子|x+1|+|x2|﹣取最小值时，相应的 x取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是 3，
故答案为﹣1≤x≤2，3；
2
（1）当式子|x2|+|﹣x4|+|﹣x6|﹣取最小值时，相应的 x＝4，最小值是 4；
故答案为 4，4；
（2）当 x
≥ − 1
2
时y＝﹣2x+6，当 x
¿−1
2
时，y最大＝7；
当﹣4≤x
≤ − 1
2
时，y＝6x+10，当 x
¿−1
2
时，y最大＝7；
当x≤ 4﹣，时 y＝2x6﹣，当 x＝﹣4时，y最大＝﹣14，
所以 x
时，y有最大值 y＝7．
【点评】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，（2）分类讨论是解题关键．
5．（1）若
¿x∨¿
x=¿¿
1，求 x．
（2）若
¿x∨¿
x=−¿
1，求 x．
【分析】利用绝对值的性质：当 x＞0时，|x|＝x；当 x≤0 时，|x|＝﹣x，先去掉绝对值再进行计算．
【解答】解：（1）∵
¿x∨¿
x=¿¿
1，∴|x|＝x，∴x＞0；
（2）∵
¿x∨¿
x=−¿
1，∴|x|＝﹣x，∴x＜0；
【点评】此题主要考查绝对值的性质，是一道基础题．
6．有理数 a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　＜　0，a+b　＜　0，c﹣a　＞　0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b| |﹣c﹣a|．
【分析】（1）根据数轴判断出 a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；
（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；
故答案为：＜，＜，＞；
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