考点01 勾股定理及其逆定理-八年级数学下学期高频考点专题突破（人教版）（原卷版）

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考点 1.探索勾股定理

知识框架

基础知识点：

1.1 认识勾股定理

1)为什么叫勾股定理？

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一。是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定

理的别称呢?我可以告诉大家，有.毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驴桥定理和埃及三角形等。

这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研

究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前 550 年首先发现的。但

毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作《周髀算经》

（公元前 1000 年左右的西周时期）就有关于勾股定理的记载，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的

勾3股4弦5,正是勾股定理的一一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

2）勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2

注：a.仅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住

直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，避免出现这样的错误

1．（2020·江苏省南京市初二期中）下列说法中正确的是（）

A．已知，，是三角形的三边长，则

B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

C．在中，若，则

D．在中，若，则

2．（2020·河南省初二期末）如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最

大的正方形的边长为 10cm，正方形 A的边长为 6cm、B的边长为 5cm、C的边长为 5cm，则正方形 D的边

长为( )

A．3cm B．cm C．cm D．4cm

3．（2020·吉林磐石初二期中）已知：在中，，，，于．

（1）求的长；（2）求的长；（3）求的长．

4．（2020·辽宁昌图初二期中）有一块边长为 24 米的正方形绿地，如上右图所示，在绿地旁边 C处有健身

器材，由于居住在 A处的居民践踏了绿地，小明想在 A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算

后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：____.

5．（2020·湖南初二月考）如图，在两面墙之间有一底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶

端在点.当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知梯子长，点到地面的垂直距离

，两墙的距离长.求点到地面的垂直距离 .

6．（2020·黑龙江省桦南实验中学初二期中）△ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则△ABC 的周长为

A．42 B．32 C．42 或32 D．37 或33

1.2 勾股定理的验证

据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达 400 多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的

“勾股圆方图”的证法。

在《九章算术》一书中(约在公元 50 至100 年间) ，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。中国古代的数

学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行

证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（后人也把它称为“赵爽弦

图”），用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明(下图)。（证明过程见例1）

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