考点01 勾股定理及其逆定理-八年级数学下学期高频考点专题突破（人教版）（解析版）

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考点 1.探索勾股定理

知识框架

基础知识点：

1.1 认识勾股定理

1)为什么叫勾股定理？

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一。是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定

理的别称呢?我可以告诉大家，有.毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驴桥定理和埃及三角形等。

这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研

究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前 550 年首先发现的。但

毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作《周髀算经》

（公元前 1000 年左右的西周时期）就有关于勾股定理的记载，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的

勾3股4弦5,正是勾股定理的一一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

2）勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2

注：a.仅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住

直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，避免出现这样的错误

1．（2020·江苏省南京市初二期中）下列说法中正确的是（）

A．已知，，是三角形的三边长，则

B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

C．在中，若，则

D．在中，若，则

【答案】C

【分析】如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2．依此即可作出选择．

【解析】A、已知 a、b、c是三角形的三边，无法确定 a2+b2=c2，故选项错误；

B、在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，故选项错误；

C、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，所以 AC2+BC2=AB2，故选项正确；

D、在 Rt△ABC 中，∠B=90°，所以 AB2+BC2=AC2，故选项错误．故选 C．

【点睛】考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

2．（2020·河南省初二期末）如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最

大的正方形的边长为 10cm，正方形 A的边长为 6cm、B的边长为 5cm、C的边长为 5cm，则正方形 D的边

长为( )

A．3cm B．cm C．cm D．4cm

【答案】B

【分析】先求出 SA、SB、SC的值，再根据勾股定理的几何意义求出 D的面积，从而求出正方形 D的边长.

【解析】解∵SA=6×6=36cm2，SB=5×5=25cm2，Sc=5×5=25cm2，

又∵ ∴36+25+25+SD=100 ∴SD =14，∴正方形 D的边长为 cm.故

选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.

3．（2020·吉林磐石初二期中）已知：在中，，，，于．

（1）求的长；（2）求的长；（3）求的长．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）在 Rt△ABC 中，直接利用勾股定理即可求得 AB 的长度；（2）利用等面积法可求得 CD 的

长度；

（3）在 Rt△BCD 中，利用勾股定理即可求得 BD 的长度．

【解析】解：（1）∵ 中，，，

∴根据勾股定理， ,即，解得；

（2）∵ ，∴ ，即，解得；

（3）在 Rt△BCD 中，根据勾股定理 ,即，解得．

【点睛】本题考查运用勾股定理解直角三角形．掌握在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边平方和等

面积法的运用是解题关键．

4．（2020·辽宁昌图初二期中）有一块边长为 24 米的正方形绿地，如上右图所示，在绿地旁边C处有健身

器材，由于居住在 A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算

后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：____.

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