解直角三角形及其应用-九年级数学上册同步课堂帮帮帮（沪科版）

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23.2 解直角三角形其应用

知识点一　解直角三角形

1．在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的主要依据——直角三角形的性质．

(1)直角三角形的两锐角互余；(2)两直角边的平方和等于斜边的平方．

3．解直角三角形的类型

图形已知类型已知条件解法步骤

两边

斜边，一直角边(如

c，a)

(1)b＝；

(2)由sinA＝求∠A；

(3)∠B＝90°－∠A

两直角边(如a，b)

(1)c＝；

(2)由tanA＝求∠A；

(3)∠B＝90°－∠A

一边一角

斜边，一锐角(如

c，∠A)

(1)∠B＝90°－∠A；

(2)由sinA＝求 a；

(3)由cosA＝求 b

一直角边，一锐角(如

a，∠A)

(1)∠B＝90°－∠A；

(2)由tanA＝求 b；

(3)由sinA＝求 c

知识点二　仰角与俯角

1．仰角与俯角：进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时所成的角叫做

仰角，当视线在水平线下方时所成的角叫做俯角．如图所示．

2．铅垂线：垂直于水平线的直线称为铅垂线(如图)．

知识点三　方位角问题

1．方位角：如图所示，以东西方向为横轴，南北方向为纵轴建立一平面，用平面内的角度来表示平

面内的方向．

2．方位角的表示：规定水平线上是左西右东，铅垂线上为上北下南，方位角通常用南偏东(西)或北偏

东(西)多少度来表示．

知识点四　坡度、坡角问题

求解与坡度有关的问题时，常利用坡度 i＝tanα＝转化已知条件，同时以坡角为基准构建直角三角形，

将实际问题转化为解直角三角形的问题来解答．

知识点五　坐标系中直线与 x轴的夹角

在平面直角坐标系中，可构造直角三角形，将该锐角置于直角三角形中，根据三角形的边长或边的关

系可求得锐角的三角函数值．

求一条直线与 x轴所夹锐角的大小时，一般先在直线上取两个点或求出 k的值，进而求出夹角的正切

值，从而求出夹角的大小．注意锐角的正切值都是正数．

帮—重点解直角三角形方法及应用

帮—难点应用解直角三角形的方法解决实际问题

帮—易错思考问题不全面导致漏解

知识点一　解直角三角形

例1　在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．解下列直角三角形：

(1)c＝8，∠A＝60°

(2)b＝2，c＝4

解析：(1)已知一个锐角 A和斜边 c，求另一个锐角 B用两锐角互余，求直角边 a用正弦，求直角边 b

用余弦．(2)已知一直角边和斜边，求另一直角边用勾股定理，求两锐角用正弦或余弦．

解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.

∵sinA＝，∴a＝csinA＝8×＝4.

∵cosA＝，∴b＝ccosA＝8×＝4.

(2)∵a2＋b2＝c2，∴a＝＝＝2.

∵cosA＝＝＝，

∴∠A＝45°.∴∠B＝45°.

注意：(1)在直角三角形中，若已知一锐角和斜边，则可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角

函数(正弦、余弦)求出两条直角边．(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和其相邻的直角边，则可用余弦

求出其斜边，用正切求出其对边．

知识点二　仰角与俯角

例2　某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”知识时，开展了测量物体高度的实践活动，

他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点 C处测得教学楼 AB 的顶点 A的仰角为 30°，然后

向教学楼前进 60 米到达点 D，又测得点 A的仰角为 45°，请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计

算过程和结论均不取近似值)

解：由已知可得∠ACB＝30°，∠ADB＝45°，CD＝60 米．设 AB＝x米，在 Rt△ABD 中，BD＝AB＝x

米．

在Rt△ABC 中，∵tanC＝，

∴BC＝＝＝x(米)．

∵BC－BD＝CD，∴x－x＝60，即(－1)x＝60.

∴x＝＝30(＋1)，

∴教学楼的高度为 30(＋1)米．

注意：本题中的两个直角三角形都只有已知角，没有已知边，不能直接求解，故设公共边，列方程求

解．

知识点三　方位角问题

例3　如图，某船向正东航行，在 A处望见某岛 C在北偏东 60°的方向上，前进 6海里到 B点，测得该

岛在北偏东 30°的方向上，已知在该岛周围 6海里内有暗礁．若船继续向东航行，有无触礁的危险？请说

明理由．

解：有触礁的危险．理由如下：过 C作CD⊥AB 于点 D，设 BD＝x海里，

∴AD＝(6＋x)海里，由已知条件可知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°.

∴CD＝AD·tan∠CAB＝BD·tan∠CBD，

即(6＋x)tan30°＝xtan60°，解得 x＝3，

∴CD＝3tan60°＝3海里．

∵3<6，∴若船继续向东航行，有触礁的危险．

注意：观测点不同，所得的方位角也不同，确定方位角时，以观测点为坐标原点进行分析，各个观测

点的南北方向线和东西方向线分别平行．

知识点四　坡度、坡角问题

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