江苏省盐都县凤凰桥实验学校苏科版数学八年级上册暑假预习讲义：第18讲 勾股定理
第 18 讲 勾股定理
新知新讲
知识点 勾股定理的证明
例题 1：如图所示，用四块底为 b、高为 a、斜边为 c的直角三角形拼成一个正方形，则大正方形的
面积 S有两种求法。
第一种方法：直接使用正方形面积计算公式，则 S= ；
第二种方法：用小正方形面积加上 4个直角三角形面积，则 S= ；
根据以上两种求面积的方法，可以建立等式： ，化简后得： 。（提示：可
以用乘法公式(b－a)2=b2－2ab+a2）
c
b
a
金题精讲
题一：曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．
如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．下面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以
它的面积有两种表示方法．既可以表示为 ，又可以表示为 ．对比两种表示方法可得
．化简，可得 a2+b2=c2．他的这个证明也被称为“总统法”．（提示：可以用乘法公式(a+b)2=
a2+2ab + b2）
b
a
c
c
a
b
题二：如图，点 C在线段 BD 上，AC⊥BD，CA=CD，点 E在线段 CA 上，且满足 DE=AB，连接 DE
并延长交 AB 于点 F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若已知 BC=a，AC=b，AB=c，设 EF=x，则△ABD 的面积用代数式可表示为；S△ABD=c(c+x)
你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．
F
B
D
C
E
A
题三：大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类
含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形 ABC 中，
AB=AC，其一腰上的高为 h，M是底边 BC 上的任意一点，M到腰 AB、AC 的距离分别为 h1、h2．
（1）请你结合图形来证明：h1+h2=h；
F
E
D
B
C
A
M
（2）当点 M在BC 延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并证明你的结
论.
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