冀教版九年级数学下册知识讲义-30利用二次函数解决动点问题

3.0 envi 2025-04-20 10 4 191.1KB 12 页 3知币

侵权投诉

初中数学利用二次函数解决动点问题

学习目标

一、考点突破

1. 综合掌握二次函数的知识点，理解特殊与一般的关系。

2. 掌握二次函数动点问题的解题方法，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性

质、图形的特殊位置）。

二、重难点提示

重点：掌握动点问题的解题方法。

难点：综合运用知识并解决实际问题。

考点精讲

1. 什么是“动点型问题”？

所谓“动点型问题”，是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧

线上运动的一类开放性题目。

2. “动点型问题”的基本类型。

① 特殊四边形为背景；

② 点动带线动得出动三角形；

③ 探究动三角形的问题（相似、等腰三角形、面积）；

④ 求直线、抛物线的解析式；

⑤ 探究存在性问题。

3. “动点型问题”的解决方法。

解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的

数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题。

【要点诠释】

根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关

系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角

形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题。

典例精讲

例题 1 （工业园区二模）如图所示，在△ABC 中，已知 AB＝AC＝5，BC＝6，且

△ABC≌△DEF，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：

点E在边 BC 上沿 B到C的方向运动，且 DE 始终经过点 A，EF 与AC 交于 M点。当线段

AM 最短时，重叠部分的面积是。

思路分析：先根据相似三角形的判定定理，得出△ABE∽△ECM，设 BE＝x，根据相

似三角形的对应边成比例，易得 CM 的表达式，继而求得 AM 的值，利用二次函数的性质，

即可求得线段 AM 的最小值，继而求得重叠部分的面积。

答案：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B，

又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，

∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM，

设BE＝x，

∴＝，即＝，∴CM＝－＋x＝－（x－3）2＋，

∴AM＝5－CM＝（x－3）2＋，

∴当 x＝3时，AM 最短为，

又∵当 BE＝x＝3＝BC，

∴点 E为BC 的中点，

∴AE⊥BC，EF⊥AC

∴AE＝＝＝4，

∴EM＝＝＝，

∴S△AEM＝AM•EM＝××＝。

故答案为。

技巧点拨：本题考查的是相似三角形的判定与性质及二次函数的最值问题，在解答此

题时，要注意数形结合思想与函数思想的应用。

例题 2 （重庆）如图所示，抛物线 y＝－x2－2x＋3 的图象与 x轴交于 A、B两点

（点 A在点 B的左边），与 y轴交于点 C，点 D为抛物线的顶点。

（1）求 A、B、C的坐标。

（2）点 M为线段 AB 上一点（点 M不与点 A、B重合），过点 M作x轴的垂线，与

直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P作PQ∥AB 交抛物线于点 Q，过点 Q作

QN⊥x轴于点 N。若点 P在点 Q左边，当矩形 PQNM 的周长最大时，求△AEM 的面积。

（3）在（2）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ，过抛物线上一点 F

作y轴的平行线，与直线 AC 交于点 G（点 G在点 F的上方）。若 FG＝2DQ，求点 F的坐

标。

思路分析：（1）通过解析式即可得出 C点坐标，令 y＝0，解方程得出方程的解，即

可求得 A、B的坐标。（2）设 M点横坐标为 m，则 PM＝－m2－2m＋3，MN＝（－m－

1）×2＝－2m－2，矩形 PMNQ 的周长 d＝－2m2－8m＋2，将－2m2－8m＋2配方，根据二

次函数的性质，即可得出 m的值，然后求得直线 AC 的解析式，把 x＝m代入可以求得三

角形的边长，从而求得三角形的面积。

（3）设 F（n，－n2－2n＋3），根据已知，若 FG＝2DQ，即可求得。

答案：（1）由抛物线 y＝－x2－2x＋3可知，C（0，3），

令y＝0，则 0＝－x2－2x＋3，解得 x＝－3或x＝1，

∴A（－3，0），B（1，0）。

（2）由抛物线 y＝－x2－2x＋3可知，对称轴为 x＝－1，

设M点的横坐标为 m，则 PM＝－m2－2m＋3，MN＝（－m－1）×2＝－2m－2，

∴矩形 PMNQ 的周长＝2（PM＋MN）

＝（－m2－2m＋3－2m－2）×2

＝－2m2－8m＋2

＝－2（m＋2）2＋10，

∴当 m＝－2时，矩形的周长最大。

∵A（－3，0），C（0，3），设直线 AC 的解析式为：y＝kx＋b，

解得 k＝1，b＝3，

∴解析式 y＝x＋3，当 x＝－2时，则 E（－2，1），

∴EM＝1，AM＝1，

∴S＝•AM•EM＝。

（3）∵M点的横坐标为－2，抛物线的对称轴为 x＝－1，

∴N应与原点重合，Q点与 C点重合，

∴DQ＝DC，

把x＝－1代入 y＝－x2－2x＋3，解得 y＝4，

∴D（－1，4）

∴DQ＝DC＝，

∵FG＝2DQ，∴FG＝4，

设F（n，－n2－2n＋3），则 G（n，n＋3），

∵点 G在点 F的上方，

∴（n＋3）－（－n2－2n＋3）＝4，

解得：n＝－4或n＝1。

∴F（－4，－5）或（1，0）。

技巧点拨：本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程

的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中。运用数形结合、方程思想是解题

的关键。

提分宝典

【综合应用】

以抛物线为载体，矩形为背景创设存在性问题，是利用二次函数解决动点问题的常见

题型，解答这类题型时，要注意数形结合，综合运用几何代数知识解决问题。

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

冀教版九年级数学下册知识讲义-30利用二次函数解决动点问题.doc

共12页,预览4页

还剩页未读，继续阅读

冀教版九年级数学下册知识讲义-30利用二次函数解决动点问题

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: