反比例函数-九年级数学上册同步课堂帮帮帮（沪科版）

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21.5 反比例函数

知识点一　反比例函数的概念

定义：一般地，表达式形如 y＝(k为常数，且 k≠0)的函数叫做反比例函数．

知识点二反比例函数的图象

反比例函数 y＝(k为常数，且 k≠0)的图象是双曲线．它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象

限(或第二、四象限)，它们关于原点中心对称，且分别关于直线 y＝x和y＝－x轴对称．

知识点三　反比例函数的性质

反比例函数的性质与 k的符号有关，现列表归纳如下：

反比例函数 y＝(k是常数，且 k≠0)

k的符号 k>0 k<0

图象

性质

图象的两个分支分别位于第一、三象

限，在每个象限内，图象自左向右下

降，函数值 y随x的增大而减小

图象的两个分支分别位于第二、四象

限，在每个象限内，图象自左向右上

升，函数值 y随x的增大而增大

知识点四　反比例函数中系数 k的几何意义

如图所示，过反比例函数 y＝(k为常数，且 k≠0)图象上任意一点 P(x，y)，分别向 x轴、y轴作垂线，

垂线段与 x轴、y轴围成的矩形面积都相等，均为|k|；过图象上任意一点 D(x，y)向x轴(或y轴)作垂线，垂

线段、坐标轴、点 D与原点连接所成的线段围成的直角三角形面积都相等，均为.

知识点五　反比例函数的实际应用

反比例函数就是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要的数学模型，它在现实生活中有着广泛

的应用，利用反比例函数的图象与性质能比较直观、简捷地解决有关实际问题．

帮—重点反比例函数的图象和性质

帮—难点反比例函数的应用

帮—易错反比例函数自变量的取值范围

1.定义：一般地，表达式形如 y＝(k为常数，且 k≠0)的函数叫做反比例函数．

(1)表达式右边是一个分式，分子是不为零的常数 k(也叫做比例系数 k)，分母是自变量 x；

(2)反比例函数的表达式也可以写成 y＝kx－1(k为常数，k≠0)的形式，x的指数为－1；

(3)自变量 x的取值范围是 x≠0；

(4)因为 k≠0，x≠0，所以反比例函数 y＝的函数值 y也不等于零．

　k为何值时 y＝(k2＋k)xk2－k－3是反比例函数？

解：由得∴k＝2.当k＝2时，y＝(k2＋k)xk2－k－3是反比例函数．

此类问题一般采用反比例函数的另一种形式，即 y＝kx－1(k是常数，且 k≠0)来列式求解，其特征是 x的

指数是－1，比例系数不等于 0，利用这两个条件可列方程组求解．

2.确定反比例函数的表达式与实际问题中的反比例函数关系

确定反比例函数的表达式有两种方法：一是根据实际问题的意义，直接写出表达式；二是先确定反比

例函数 y＝(k为常数，且 k≠0)的模型，再根据一个独立的条件，用待定系数法求出 k的值，这个独立的条

件可以是一组函数的对应值，也可以是函数图象上一个点的坐标．

　某闭合电路中，电源的电压为定值，电流 I(A)与电阻 R(Ω)成反比例．如图所示是该

电路中电流 I与电阻 R之间函数关系的图象，则用电阻 R表示电流 I的函数表达式为(　　　)

A．I＝　　　　　 B．I＝

C．I＝D．I＝－

解析：由图象知，该函数是反比例函数．设 I＝，把点 B(3,2)的坐标代入得 k＝2×3＝6，∴I＝.

答案：C

3．画反比例函数的图象常用描点法，主要有三个步骤：

(1)列表：自变量的取值应以 0为中心，沿 x轴的两个方向取三对(或三对以上)互为相反数的数．注意：

x不能为 0.

(2)描点：先描出一侧，另一侧可根据关于原点成中心对称的点的性质去找．

例 1

例 2

(3)连线：在 y轴的每一侧，按照从左到右的顺序，分别用一条光滑的曲线连接各点并延伸．

画反比例函数 y＝的图象．

解析：根据反比例函数图象的画法，分三个步骤进行，即列表、描点、连线．

解：列表：

x－5－4－2－1－－ 1 2 4 5

y＝－0.4 －0.5 －1－2－4－66 4 2 1 0.5 0.4

描点：在平面直角坐标系内，以表中 x的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．

连线：把 y轴左侧各点和右侧各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并延伸，就得到函数 y＝的图

象，如图所示．

4.反比例函数的性质

(1)描述反比例函数的增减性时，应强调条件“在每个象限内”，如图所示，

k>0，xA<xB，但yA<yB；

(2)在每个象限中，函数图象与 x轴和 y轴无限接近但不相交；

(3)双曲线的两个分支关于直线 y＝x或直线 y＝－x成轴对称，也关于原点 O成中心对称．

　已知反比例函数 y＝，分别根据下列条件求出 k的取值范围．

(1)函数的图象位于第一、三象限；(2)在第二象限内，y随x的增大而增大．

解：(1)∵反比例函数图象的两个分支位于第一、三象限，

∴4－k>0，∴k<4.

(2)∵在第二象限内，y随x的增大而增大，

∴4－k<0，∴k>4.

5. 反比例函数中系数 k的几何意义

如图，正比例函数 y＝x与反比例函数 y＝的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点 C，

则△ABC 的面积为(　　　)

例 3

例 4

例 5

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