二次函数的应用-九年级数学上册同步课堂帮帮帮（沪科版）

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22.4 二次函数的应用

1．利用二次函数解决利润问题

利润问题主要涉及两个等量关系：

利润=售价-进价；

总利润=单件商品的利润×销售量．

在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它

们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．

建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：

（1）审题；

（2）找出题中的已知量和未知量；

（3）用一个未知量表示题中的其他未知量；

（4）找出等量关系并列出函数解析式；

（5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．

2．利用二次函数求图形面积的最值

（1）二次函数的最值：一般地，当 a>0（a<0）时，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也

就是说，当 x=时，二次函数 y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为．

（2）应用二次函数解决实际问题的基本思路：

①理解题意；②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；③用函数解析式表示它们之间的关系；

④用数学方法求解；⑤检验结果的合理性．

3．利用二次函数解决抛物线形问题

在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程

中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当

的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析

解答问题．

帮—重点利用二次函数解决利润问题和实际问题

帮—难点二次函数的综合问题

帮—易错解二次函数的实际问题时，忽视自变量的取值范围

一、利用二次函数解决利润问题

二次函数与利润最大问题

（1）调整价格分涨价和降价．

（2）总利润=单件商品的利润×销售量．

（3）商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加．两种情况都会导致利润的

变化．

（2020•滨州）某水果商店销售一种进价为 40 元/千克的优质水果，若售价为 50 元/千克，

则一个月可售出 500 千克；若售价在 50 元/千克的基础上每涨价 1元，则月销售量就减少 10 千克．

（1）当售价为 55 元/千克时，每月销售水果多少千克？

（2）当月利润为 8750 元时，每千克水果售价为多少元？

（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

【解析】（1）当售价为 55 元/千克时，每月销售水果＝500 10×﹣（55 50﹣）＝450 千克；

（2）设每千克水果售价为 x元，

由题意可得：8750＝（x40﹣）[500 10﹣（x50﹣）]，

解得：x1＝65，x2＝75，

答：每千克水果售价为 65 元或 75 元；

（3）设每千克水果售价为 m元，获得的月利润为 y元，

由题意可得：y＝（m40﹣）[500 10﹣（m50﹣）]＝﹣10（m70﹣）2+9000，

∴当m＝70 时，y有最大值为 9000 元，

答：当每千克水果售价为 70 元时，获得的月利润最大值为 9000 元．

二、利用二次函数求图形面积的最值

求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变

例 1

量，构建二次函数模型求解．

如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开．已知篱

笆的总长为 900 m（篱笆的厚度忽略不计），当 AB=_________m 时，矩形土地 ABCD 的面积最大．

【答案】150

【解析】（1）设 AB=x m，则 BC=（900-3x），由题意可得，S=AB×BC=x×（900-3x）=- （x2-

300x）

=- （x-150）2+33750，

∴当x=150 时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150 m，故答案为：150．

三、利用二次函数解决抛物线形问题

用二次函数解决抛物线形问题

（1）建立恰当的平面直角坐标系；

（2）将已知条件转化为点的坐标，正确写出关键点的坐标；

（3）合理地设出函数解析式；

（4）将点的坐标代入函数解析式求出解析式；

（5）利用解析式求解．

在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意对数形结合思想的应用．

如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽4 m，水面下降 2 m，水面宽度增加__

________m．

例 2

例 3

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