第一章第05课 直角三角形的性质和判定定理-八年级数学下册精品导学案（北师大版）

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第一章 三角形的证明
第05 课 直角三角形的性质和判定定理
一、新课学习
1．直角三角形的性质定理和判定定理：
(1)直角三角形的两个锐角___互余__．
(2)有两个角__互余__的三角形是直角三角形．
2．勾股定理和判定定理：
(1)直角三角形两条直角边的平方和等于____斜边的平方______．
(2)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是____直角三角形____．
3．逆命题、逆定理：
(1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为___
互逆命题____，其中一个命题称为另一个命题的____逆命题____．
(2)一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是__真___命题，那
么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的___逆定理___．
二、典例分析
知识点一：直角三角形的性质
例1：已知在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，则∠B的度数是（　　）
A.30° B．35°
C．40° D．50°
【解析】∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，故选 A．
练习：如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的 4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是
（　　）
A.9° B．18°
C．27° D．36°
【解析】设较小的锐角是 x度，则另一角是 4x 度．
则x+4x=90，解得：x=18°．故选 B．
知识点二：勾股定理
例2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，求 BC．
1
【解析】∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，
∴.
练习：如图，已知在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC 边上的高 AD=8，求 BC 边的长．
【解析】如图，
∵AD⊥BC，∴BD2=122-82，CD2=102-82，
∴ ，CD=6，∴ .
知识点三：逆命题、逆定理
例3：写出命题“等角的余角相等”的逆命题，并指出它的逆命题是真命题还是假命题．如果是真
命题，请加以证明；如果是假命题，举出一个反例．
【解析】命题“等角的余角相等”的逆命题为：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等，正确，
是真命题；
已知：∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠3=∠1，
求证：∠2=∠4．
证明：∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，
∵∠3=∠1，∴∠2=∠4.
练习：写出下列命题的逆命题，并判断真假．
（1）同位角相等，两直线平行；
2
（2）对顶角相等；
（3）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等．
【解析】（1）同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；
（2）对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题；
（3）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等的逆命题为如果两个实数的平方
相等，那么这两个实数的绝对值也相等，正确，为真命题．
知识点四：勾股定理的逆定理
例4：下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（　　）
A.9，12，15 B．7，24，25
C．6，8，10 D．3，5，7
【解析】A、92+122=152，能构成直角三角形，故正确；
B、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；
C、62+82=102，能构成直角三角形，故正确；
D、32+52≠72，不能构成直角三角形，故错误．
故选 D．
三、课堂检测
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 　　
A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
【解析】 、 ，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
、 ，符合勾股定理的逆定理，故错误；
、 ，符合勾股定理的逆定理，故错误；
、 ，符合勾股定理的逆定理，故错误．
故选 ．
2．若 的三边 、 、 满足条件 ，则 为 　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 ，
或 ．
3
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