第一章第03课 等腰三角形的判定与反证法-八年级数学下册精品导学案（北师大版）

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第一章 三角形的证明
第03 课 等腰三角形的判定与反证法
一、新课学习
1．等腰三角形的判定：有两个角
相等
的三角形是等腰三角形．简述为
等校对等边
．
2．证明时，先假设命题的结论
不成立
，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相
矛盾 的
结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为
反证法
．
二、典例分析
知识点一：等腰三角形的判定
例1：如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E在CA 的延长线上，EP⊥BC，垂足为 P，EP 交AB 于点 F.求证：
△AEF 是等腰三角形.
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵EP⊥BC，∴∠B＋∠BFP＝90°，∠C＋∠E＝90°.∴∠BFP＝∠E.
∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF，∴△AEF 是等腰三角形．
练习：如图，已知 AB=DC，AC=DB，AC 与BD 交于一点 O，求证：△OBC 是等腰三角形．
【解析】在△ABC 和△DCB 中， ，∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ACB=∠DBC．∴OB=OC．∴△OBC 是等腰三角形．
知识点二：反证法
1
例2：已知五个正数的和等于 1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 .
【解析】假设这五个正数 a1，a2，a3，a4，a5中没有一个大于或等于 ，即都小于 ，
那么 a1＋a2＋a3＋a4＋a5< ×5＝1，这与 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1相矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．
练习：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AD 是底边 BC 上的高，请你利用反证法证明∠DAB 是一
个锐角．
【解析】假设∠DAB 是钝角或直角，
∵AB=AC，AD 是底边 BC 上的高，
∴∠BAC=2∠DAB，
∴∠DAB 是钝角或直角，
∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理，
∴假设不成立，
∴∠DAB 是一个锐角．
知识点三：等角对等边的实际应用
例3：上午 8时，一条船从海岛 A出发，以 15n mile/h（海里/时，1n mile=1852m）的速度向正北航行，10
时到达海岛 B处，从 A、B望灯塔 C，测得 NAC=42°，NBC=84°．求从海岛 B到灯塔 C的距离.
【解析】∵∠NBC=84°，∠NAC=42°，
∴∠C=84°-42°=42°．
∴∠C=∠NAC，∴BC=AB，
2
∵上午 8时，一条船从海岛 A出发，以 150n mile/h 的速度向正北航行．10 时到达海岛 B处，
∴BC=AB=15×2=30n mile.
三、课堂检测
1．如图，在 中， ， ， 和 的平分线交于点 ，过点 作 分别
交 、 于 、 ，则 的周长为 　　
A．10 B．6 C．4 D．不确定
【解析】 ， ．
平分 ， ， ．
， ， ．
同理 ， ．
故选 ．
2．如图， ， 平分 ，过 作 交 于点 ，若点 在 上，且满足
，则 的度数为 　　
A．B．C． 或 D． 或
【解析】如图， ；
3
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