第一章 重点突破训练：特殊平行四边形的证明与计算-简单数学之2020-2021学年九年级上册同步讲练（解析版）（北师大版）

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第一章 重点突破训练：特殊平行四边形的证明与计算
考点体系
考点 1：特殊平行四边形性质与判定的综合应用
典例：（2020·北京密云初二期末）已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别与
AC、BC、AD 交于点 O、E、F，连接 AE 和CF．
（1）求证：四边形 AECF 为菱形；
（2）若 AB= ，BC=3，求菱形 AECF 的边长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】（1）证明：∵AC 的垂直平分线 EF 分别与 AC、BC、AD 交于点 O、E、F，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
1
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF 和△COE 中，
∵∠FAO＝∠ECO，OA=OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形 AECF 为菱形；
（2）解：设 AE＝CE＝x，则 BE＝3﹣x，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即（ ）2+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝2，即 AE＝2，
∴菱形 AECF 的边长是 2．
方法或规律点拨
本题考查了线段垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质以及勾股
定理等知识，能综合运用以上知识进行推理是解此题的关键．
巩固练习
1．（2020·宁夏盐池初二期中）已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E，O，F分别是边 AB，AC，AD 的中
点，连接 CE、CF、OE、OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当 AB 与BC 满足什么条件时，四边形 AEOF 正方形？请说明理由．
2
【答案】（1）证明见解析；（2）AB⊥BC 时，四边形 AEOF 正方形．
【解析】（1）∵四边形 ABCD 是菱形，点 E，O，F分别是边 AB，AC，AD 的中点，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，
∵点 E、F分别是边 AB、AD 的中点，
∴BE= AB，DF= AD，
∴BE=DF，
在△BCE 和△DCF 中， ，
∴△BCE≌△DCF．
（2）AB⊥BC，理由如下：
∵四边形 AEOF 是正方形，
∴∠AEO=90°，
∵点 E、O分别是边 AB、AC 的中点，
∴OE 为△ABC 的中位线，
∴OE//BC，
∴∠B=∠AEO=90°，
∴AB⊥BC．
2．（2020·湖北潜江初二期末）已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线 BD 上一
点，且 EA=EC．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）如果 BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形 ABCD 是正方形．
3
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