第一章 图形的相似【知识梳理】-2020-2021学年九年级数学上册单元复习一遍过（青岛版）

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第一章《图形的相似》（知识梳理）
【思维导图】
【知识清单】
知识点一:比和比例的有关概念
（一）比和比例
1.表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.
2.第四比例项：若
a c
b d
或 a:b=c:d，那么 d 叫作 a、b、c 的第四比例项.
3.比例中项：若
a b
b c
或 a:b=b:c，b 叫作 a，c 的比例中项.
4.黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段 AB 与较短线段（BC）的
比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即 AC2=AB·BC，AC=
5 1 0.618
2AB AB
；一条线段的黄金分割
点有两个.
（二）成比例线段：对于四条线段
a
、
b
、
c
、
d
，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
a
:
b
=
c
:
d
，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（三）比例的基本性质及定理
1.
a c ad bc
b d
 
2.
a c a b c d
b d b d
 
 
3.
(b d n 0)
a c m a c m a
b d n b d n b
 
 
 
 
（四）平行线分线段成比例定理
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；
(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角
形的第三边；
(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三
角形三边对应成比例．
知识点二:相似图形
（一）相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
（二）相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫
做相似多边形。
性质：
1.相似多边形对应角相等 ，对应边 成比例 ．
2.相似多边形周长之比等于相似比 ，面积之比等于 相似比的平方 ．
知识点三: 相似三角形
（一）相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号
“∽”，读作“相似于”。
（二）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比
（三）相似三角形的判定:
判定方法 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法 2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　
判定方法 3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
2
判定方法 4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定方法 5：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
判定方法 6：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，
所截得的三角形与原三角形相似 ；
（四）相似三角形的性质：
1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3.相似三角形的周长比等于相似比．
4.相似三角形的面积比等于相似比的平方．
（五）相似三角形与实际应用：
关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。
知识点四: 位似
（一）位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么
这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
（二）位似图形定义性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 位似比 ．
点拨：
1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。
3
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