第一讲 三角形的边与角 讲义 2021-2022学年浙教版数学八年级上册

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第一讲 三角形的边与角
知识综述
三角形是最常见、最基本的几何图形之一，在生活实际中有着广泛的应用，三角形的
学习是学习初中平面几何的基础，三角形的许多重要性质是研究其他几何图形的依据，根
据三角形的性质还可以推导许多几何学 的重要结论，为进一步研究图形的性质作好准备.
研究一个图形的性质，一般主要研究构成这个图形的主要元素之间的关系，因此，研
究三角形的性质，我们先研究它的边、角以及其他相关元 素之间的关系，主要有以下重要
的性质或结论:
1.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边、任意两边 之差小于第三边.
2.三角形的内角和:三角形的内角和等于 180 度.
3.三角形的外角性质:三角形的外角和等于 360 度，任意一个外角都等于与它不相邻的
两个内角的和;三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角.
4.三角形边角关系以及中线、角平分线和高线、面积、周长等相关性质或计算方法是
线段、角度计算、图形计数的主要依据，应用这些知识解决问题时，要注意数形结合和分
类讨论，同时关注基本图形.
问题求解
例1.如果 a，b，c，分别是△ABC 三边的长，且|a+b-c|+|b+c-a|+|c+a-b|=12，那么
△ABC 的周长是_____.
解法分析：先根据三角形的三边关系定理以及绝对值的定义化简已知的等式的左边，再合
并同类项可得答案。
答案：12
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a+b-c＞0，b+c-a＞0，c+a-b＞0，
则|a+b-c|+|b+c-a|+|c+a-b|
=a+b-c+b+c-a+c+a-b，
=a+b+c，
因为|a+b-c|+|b+c-a|+|c+a-b|=12.
所以△ABC 的周长是 12.
1
例2. 如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着 AB，AC 边翻折 180°形成的，若
∠BAC=145°，则∠θ=____.
解法分析：先根据三角形的内角和与翻折变换的特点求得∠EBC+ DCB∠的度数，再根
据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠θ的大小。
答案：70°.
解：∵∠BAC=145°，
∴∠ABC+ ACB=35°∠，
∵∠EBA= ABC∠，∠DCA= ACB∠，
∴∠EBA+ ABC+ DCA+ ACB=2( ABC+ ACB)=70°∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，即∠EBC+ DCB=70°∠，
∴θ=70°.
例3. （1）设△ABC 的三边分别为 a、b、c，试证明：a＜
1
2
（a+b+c）
（2）设四边形的四边长依次为 a、b、c、d，两条对角线分别为 e、f，证明：e+f＞
1
2
（a+b+c+d）
解法分析：（1）根据三角形三边关系可知 b+c>a，再根据不等式的性质
a+b+c>a+a，即可证明 a＜
1
2
（a+b+c）；（2）根据三角形三边关系可得 n+x>a,
x+m>b, y+m>c, n+y>d, 再根据不等式的性质可得 2(x+y+m+n)>a+b+c+d,从而证明 e+f
2
＞
1
2
（a+b+c+d）
解：(1)证明：∵b+c＞a，
a+b+c∴＞a+a，
∴
1
2
（a+b+c）＞a，即 a＜
1
2
（a+b+c）；
(2)证明：显然 n+x＞a，x+m＞b，y+m＞c，n+y＞d，
所以：2（x+y+m+n）＞a+b+c+d，
即：2（e+f）＞a+b+c+d，
所以：e+f＞
1
2
（a+b+c+d）．
例4. 已知：△ABC 中，BO 平分
∠ABC
，CO 平分∠ACB
(1)如图 1，∠BOC 和∠A 有怎样的数量关系？请说明理由
(2)如图 2过 O点的直线分别交△ABC 的边 AB、AC 于点 E，F（点 E不与 A，B重合，
点 F不与 A，C重合），BP 平分外角∠DBC，CP 平分外角∠GCB，BP，CP 相交于
点P。求证：∠P= BOE+ COF∠ ∠ ；
(3)如果(2)中过 O点的直线与 AB 交于点 E（点 E不与 A，B重合），与 CA 的延长线
交于点 F，在其它条件不变的情况下，请直接写出∠P，∠BOE，∠COF 三个角之间
的数量关系。
解法分析：（1）根据三角形的内角和等于 180°求出∠ABC+ ACB∠的度数，再根据角
平分线的定义求出∠OBC+ OCB∠的度数，再根据三角形的内角和等于 180°列式计算
即可求解。（2）∠P+ BOC=180°∠即可解决问题。（3）画出图形，求
∠P+ BOC=180°∠，∠BOC+ BOE+ COF=360°∠ ∠ ，可得∠BOE+ COF- P=180°∠ ∠
解：(1)
ABC+ ACB=180°- A,BO∠ ∠ ∠ 平分
∠ABC
，CO 平分∠ACB
∴
∠OBC=
1
2
ABC, OCB=∠ ∠
1
2
ACB∠
∴
∠OBC+ OCB=∠
1
2
(ABC+ ACB)=∠ ∠
1
2
(180°- A∠)=90°-
1
2
A∠
3
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