第四讲 解一元二次方程（公式法）（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第四讲 解一元二次方程（公式法）
【学习目标】
1.经历求根公式的推导过程.
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
【新课讲解】
知识点 1：求根公式的推导
用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0).这个方程的根的表达式就是求根公式。下面进
行推到，注意学习推导过程。
移项，得：ax2+bx=-c
方程两边都除以 a，将方程二次项系数变为 1.（目的是利用配方法解方程）
方程两端同时加上一次项系数的一半的平方，配方，得
即
∵a ≠0,4a2>0
当 b2-4ac ≥0 时，
1
上面这个就是一元二次方程的求根公式。两个根分别为：
∵a ≠0,4a2>0
当 b2-4ac ＜0 时
而 x 取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数 a，b，c 确定．因此，解一元二次方
程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当 b2-4ac ≥0 时，将 a，b，c 代入式子就得到
方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公
式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
一定注意：用公式法解一元二次方程的前提是
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax
2+
bx
+
c
=0(
a
≠0);
2.
b
2-4
ac
≥0.
知识点:2：公式法解方程
1.公式法解方程的步骤
（1）变形: 化已知方程为一般形式;
（2）确定系数:用 a,b,c 写出各项系数;
（3）计算: b2-4ac 的值;
（4）判断：若 b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若 b2-4ac<0，则方程没有实数根。
2.例题解析
2
【例题 1】解方程：x2 +7x–18 =0.
【答案】 x1 =-9, x2 =2 .
【解析】这个一元二次方程：x2 +7x–18 =0.已经是一般形式，
所以这里 a=1, b=7, c=-18.
∵ b 2 -4ac =7 2 –4 × 1× (-18 ) =121>0,方程有两个不等实数根
根据求根公式
即 x1 =-9, x2 =2 .
【例题 2】解方程 4
x
2=12
x
－9
【答案】3/2.
【解析】方程化为：4
x
2－12
x
+9=0,
这里 a=4, b=-12 , c=9.
∴
b
2－4
ac
=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
x1 =x2 =-b/2a=12/(2×4)=3/2.
【例题 3】解方程（x - 2) (1-3x) =6.
【答案】原方程没有实数根.
【解析】去括号 ，得 x–2-3x2 + 6x=6,
化为一般式 3x2 - 7x + 8=0,
这里 a=3, b=-7 , c=8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 –4×3×8 =49–96 =- 47 < 0,
∴原方程没有实数根.
知识点 3：一元二次方程根的判别式
1.判别式的含义
我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式，通常用符号“Δ ”表示，即 Δ=b2-4ac.
2.根的判别式使用方法
3
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