第十一讲 二次函数（解析版）2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第十一讲 二次函数
【学习目标】
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.
【新课讲解】
知识点 1：二次函数的定义
1.定义：形如 y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a,b,c 分别是二次
项系数、一次项系数和常数项.
2.一般形式：y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c 是常数）
说明：
（1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；
（2）a,b,c 为常数，且 a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
3.方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次
函数除有一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如 y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c 等.
知识点 2：二次函数定义的应用
【例题 1】函数
（1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m 取什么值时，此函数是二次函数？
【答案】见解析。
【解析】（1）由题可知
（2）由题可知
【例题 2】某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次(最低档次)的产品一天能生产 95 件，每
件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件．
1
(1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求 y 关于 x 的函数关系式；
(2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次．
【答案】见解析。
【解析】（1）∵第一档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每提高一个档次，每件利润加 2 元，
但一天产量减少 5 件，
∴第 x 档次，提高了(x－1)档，利润增加了 2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即 y＝－10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且 1≤x≤10)；
（2）由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得 x2－18x＋72＝0，
解得 x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第 6 档．
知识点 3：二次函数的值
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量指数为 2 这两个关键条件，求出字
母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将 x 的值代入其中，求出 y 的值.
【例题 3】若函数
是二次函数，求：
（1）求 a 的值.
(2) 求函数关系式.
（3）当 x=-2 时，y 的值是多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意，得
解得 a=-1
（2）当 a=-1 时，函数关系式为
（3）将 x=-2 代入函数关系式中，有
2
二次函数过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
一、单选题（每个小题 4 分，共 32 分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：
二次函数 的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为 2．
根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
A. 是一次函数，故本题选项错误；
B. ，是一次函数，故本题选项错误；
C. ，是二次函数，故本题选项正确；
D. 是反比例函数，故本题选项错误．
2．若函数 是关于 x二次函数，则 a的值为（ ）
A．B．1 C．D．1或0
【答案】B
【解析】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化
简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为 0这个关键条件．
∵函数 是关于 x二次函数，
∴ 且 ，
解得： ，
3．如果函数 是二次函数，则 的取值范围是（ ）
3
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