第十五讲 一次方程组与CT技术-【暑假辅导班】新七年级数学暑假精品课程（沪科版）（解析版）

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第十五讲 一次方程组与 CT 技术
【学习目标】
1. 能用一次方程组解决简单的实际问题,
2. 掌握列方程组解决实际问题的一般步骤.
【基础知识】
1.CT 是 X 射线计算机断层成像(X-ray computed tomography)的简称,亦指一种病情探测仪器.由于 CT 分辨
力高,可使人体内组织或结构清楚地显影,能清楚地显示出器官是否有病变,因而对脑瘤、肺癌等疾病,CT 检
查作出的诊断都是比较可靠的.
2.CT 的工作程序是这样的:X 射线射入人体,被人体吸收而衰减,应用灵敏度极高的探测器采集衰减后的 X 射
线信号,获取数据(由于人体不同器官和病变部位对 X 射线的吸收程度不同,所以所得数据也不同),将这些数
据输入电子计算机,进行处理后,就可摄下人体被检查部位的各断层的图像,从而发现体内任何部位的细小
病变.
3.所谓断层是指受检体的截面薄层,为了显示整个器官,需要多个连续的断层图像,图像的个数按断层的厚
度(3~15mm)而定.
4.各断层的 CT 图像是如何得来的?我们在受检体内欲成图像的断层表面上,按一定大小(长或宽为 1~2mm)把
断层划分成许多很小的部分(它的高就是断层的厚度),这些小块就称为体素,一般用吸收值来表示 X 射线束
穿过一个体素后被吸收的程度,要得到该断层的图像,要发现受检体有无病变,就需要把它上面的各体素的
吸收值都求出来.
设体素 A、B、C 的吸收值分别为 x、y、z,则 X 射线束 1 穿过体素 A 和 B 后,由探测器测得的总吸收值为
p1,则 x+y=p1①
同样,X 射线束 2 穿过体素 A 和 C 后,测得总吸收值为 p2,X 射线束 3 穿过体素 B 和 C 后,测得总吸收值为
1
p3,则
x+z=p2,②
y+z=p3,③
将方程①②③联立起来,得到一个含有未知数 x、y、z 的三元一次方程组,解此方程组,可以求得体素 A、
B、C 的各自吸收值.
由于一般的断层至少也得划分成 160×160=25 600 个体素,X 射线束从不同位置、不同方向穿过该断层,
因而需要解由此而建立的 25 600 个元的一次方程组,才能求出各体素的吸收值.
【考点剖析】
考点一：一元一次方程的应用
例1．1．某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利20%，若该书的进价为20 元，则标价为_
__________元．
【答案】30
【分析】
设每本书的标价为x元，根据八折出售可获利20%，可得出方程：80%x-20=20×20%，解出即可．
【详解】
解：设每本书的标价为x元，
由题意得：80%x-20=20×20%，
解得：x=30．
即每本书的标价为30 元．
故答案为：30．
考点二：方案问题
例2．2．为了奖励校运会优秀运动员，学校决定用 1200 元购买篮球和排球两种奖品若干个．其中
篮球每个120 元，排球每个90 元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有_____．
【答案】3
【分析】
设购买篮球 x个，排球 y个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x、y的方程，
由x、y均为非负整数即可得.
【详解】
解：设购买篮球 x个，购买排球 y个，根据题意，得：
2
120x+90y=1200，
∵x、y是整数，
∴方程的整数解为： ， ， ，
∴购买方案有三种：方案一，购买 1个篮球，12 个排球；方案二，购买 4个篮球，8个排球；方案三，购
买7个篮球，4个排球.
故答案为3.
考点三：配套问题
例3．3．一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思
是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有________名，士兵
有________名．
【答案】200 800
【分析】
设军官有 x名，士兵 y名，根据共有1000 名，得方程 x+y=1000；根据共有1000 尺布，得方程 4x+
y=1000，联立方程组即可.
【详解】
解：设军官有 x名，士兵 y名，根据题意，得：
解之，得：
所以军官有 200 名，士兵有800 名.
故答案为200，800.
【真题演练】
1．已知满足 y＝ax2＋bx＋c的x，y的对应值有 x＝3，y＝0；x＝1，y＝0和x＝0，y＝3，则a，b，c三数
3
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