第十五讲 角平分线的判定（解析版） -【暑假辅导班】新八年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第十五讲 角平分线的判定
【学习目标】
1.理解角平分线判定定理.
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
【新课讲解】
知识点 1：角平分线的判定定理
1.定理语言表述：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
2.定理的几何表述：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
3.应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
4.定理的作用：判断点是否在角平分线上。
5.定理的证明：
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD=PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
证明：作射线 OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB.
1
∴∠PDO=∠PEO=90
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）
∴点 P 在∠AOB 角的平分线上.
知识点 2：三角形的内角平分线
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，
求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴PD=PE.同理 PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
角平分线的判定问题新课程过关检测
满分 100 分，答题时间 60 分钟
2
一、选择题（本题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
1．已知：如图，点 P 在线段 AB 外，且 PA=PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，
需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）
A．作∠APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C
B．过点 P 作 PC⊥AB 于点 C 且 AC=BC
C．取 AB 中点 C，连接 PC
D．过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C
【答案】B．
【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
A．利用 SAS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合
题意；
C．利用 SSS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合
题意；
D．利用 HL 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合题意，
B．过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。
2.如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则
： ： 等于（ ）
A. 1：2：3. B. 2：3：4. C. 3：4：5. D. 4：5：6.
【答案】B
【解析】由角平分线的性质可得，点 O 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的 AB、BC、CA 的高相等，
利用面积公式即可求解．
过点 O 作 OD⊥AC 于 D，OE⊥AB 于 E，OF⊥BC 于 F，
∵O 是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，∵AB=20，BC=30，AC=40，
3
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