第十五讲二次函数y=a(x-h) 2 +k的图象和性质（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第十五讲二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象和性质

【学习目标】

1.会用描点法画出 y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.

2.掌握二次函数 y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.

3.理解二次函数 y=a(x-h)2+k (a ≠0)与 y=ax2 (a ≠0)之间的联系.

【新课讲解】

知识点 1：二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质

【问题 1】画出函数

的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.

先列表

再描点、连线.

由函数

图像观察其特点是：

开口方向向下；对称轴是直线 x=-1;顶点坐标是(-1,-1) .

【问题 2】画出函数 y=2(x+1)2-2 图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.

通过列表、描点、连线得到如下图像

图像特点是:

开口方向向上；对称轴是直线 x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。

由【问题 1】【问题 2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是：

【例题 1】已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是(　　)

【答案】A

【解析】根据二次函数开口向上则 a＞0，根据－c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 c＞0，故一次函数

y＝ax＋c 的大致图象经过第一、二、三象限．故选 A.

【例题 2】例 2. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点(3，0)．

(1)求 a 的值；

(2)若 A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系．

【答案】见解析。

【解析】已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．

(1)将(3，0)代入 y＝a(x－1)2－4，得 0＝4a－4，解得 a＝1；

(2)方法一：根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，

∵y1＝y2，

∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.

∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2；

方法二：∵函数 y＝(x－1)2－4 的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于 y 轴的直线，

∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.

知识点 2：二次函数 y=a(x-h)2+k 与 y=ax2的关系

可以看作互相平移得到的.

二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象和性质过关检测

注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟

一、单选题（每个小题 4 分，共 32 分）

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