第十四讲 三元一次方程组的应用-【暑假辅导班】新七年级数学暑假精品课程（沪科版）（解析版）

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第十四讲 三元一次方程组的应用
【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【基础知识】
一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程．如 x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是
三元一次方程．
要点诠释：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是 1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中 a、b、c 不为零．
2．三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程
组求解．
二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知
数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
1
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解
三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如 x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，
不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【考点剖析】
考点一：解三元一次方程组
例1．1．已知方程组 ，那么代数式 8x–y–z的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】
根据“3x−y−2z＝1”，得到−y−z＝1＋z−3x，代入 8x−y−z 得：5x＋z＋1，
①＋②得：5x＋z＝6，代入 5x＋z＋1，即可得到答案．
【详解】
解：∵3x−y−2z＝1，
2
∴−y−z＝1＋z−3x，
8x−y−z＝1＋z−3x＋8x＝5x＋z＋1，
，
①＋②得：
5x＋z＝6，
即8x−y−z＝6＋1＝7，
故选 B．
考点二：三元一次方程组的应用
例2．2．甲，乙，丙三人共解出 100 道题，每人都解对其中的 60 道题，将其中只有 1人解出的题
叫做难题，2人解出叫做中等题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题和容易题谁多，多几题（ ）
A．容易题比难题多 20 题B．难题比容易题多 20 题
C．一样多 D．无法确定
【答案】B
【分析】
本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题（中等难度的题）的个数，有两个等量关
系：（1）难度题个数＋容易题个数＋中等难度题个数＝100．（2）难题个数＋容易题个数×3＋中等难度
题个数×2＝60×3．
【详解】
设共有 x道题难题，z道容易题，中等难度的题为 y道，根据题意得
由①×2−②，得 x−z＝20．
故难题比容易题多 20 道．
故选：B．
【真题演练】
3
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