第十三讲 二次函数y=ax2+k的图象和性质 （解析版）2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第十三讲 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质
【学习目标】
1.会画二次函数 y=ax2+k 的图象.
2.掌握二次函数 y=ax2+k 的性质并会应用.
3.理解 y=ax² 与 y=ax²+k 之间的联系.
【新课讲解】
知识点 1：二次函数 y=ax2+k（a ≠ 0）的性质
二次函数 y=ax2+k 的图象和性质(a＞0)
二次函数 y=ax2+k 的图象和性质(a＜0)
【问题 1】在同一直角坐标系中，画出二次函数
与 的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象
1
【例题 1】已知二次函数 y＝ax2+c,当 x 取 x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当 x＝x1+x2时，其函数值
为________.
【答案】c
【解析】二次函数 y＝ax2+c 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对
应横坐标互为相反数．
由二次函数 y＝ax2+c 图象的性质可知，x1，x2关于 y 轴对称，即 x1+x2＝0.把 x＝0 代入二次函数表达式求出
纵坐标为 c.
知识点 2：二次函数 y=ax2+k 的图象及平移
二次函数 y=ax2 与 y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系
二次函数 y=ax2+k 的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当 k > 0 时,向上平移 k 个单位长度得到.
当 k < 0 时,向下平移-k 个单位长度得到.
上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减.
【例题 2】二次函数 y＝－3x2＋1 的图象是将(　　)
A．抛物线 y＝－3x2向左平移 3 个单位得到
B．抛物线 y＝－3x2向左平移 1 个单位得到
C．抛物线 y＝3x2向上平移 1 个单位得到
D．抛物线 y＝－3x2向上平移 1 个单位得到
【答案】D
【解析】二次函数 y＝－3x2＋1 的图象是将抛物线 y＝－3x2向上平移 1 个单位得到的．故选 D.
注意：1.画抛物线 y=ax2+k 的图象有几步？
第一种方法：平移法，两步即第一步画 y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位.
2
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线
2.抛物线 y=ax2+k 中的 a 决定什么？怎样决定的？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a 决定开口方向和大小；k 决定顶点的纵坐标.
【例题 3】如图，抛物线 y＝x2－4 与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 为抛物线上一点，且 S△PAB＝4，求 P 点的
坐标．
【答案】见解析。
【解析】抛物线 y＝x2－4，令 y＝0，得到 x＝2 或－2，
即 A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设 P 点纵坐标为 b，
∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即 b＝2 或－2.
当 b＝2 时，x2－4＝2，解得
此时 P 点坐标为
当 b＝－2 时，x2－4＝－2，解得
此时 P 点坐标为
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