第十七讲 用待定系数法求二次函数的解析式（解析版）2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第十七讲 用待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
【新课讲解】
知识点 1：一般式法二次函数的表达式
1.待定系数法求解二次函数一般式步骤：
（1）设：表达式
（2）代：坐标代入
（3）解：方程（组）
（4）还原：写解析式
2.一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为 y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到 a,b,c 的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
【例题 1】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
【答案】y＝2x2＋3x－4.
【解析】设这个二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4.
知识点 2：顶点法求二次函数的表达式方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是 y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
1
【例题 2】一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
【答案】见解析。
【解析】因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9.
解得 a=-9/64
∴所求的二次函数的解析式是
知识点 3： 交点法求二次函数的表达式
这种知道抛物线与 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
交点法求二次函数的表达式其步骤是：
①设函数表达式是 y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标 x1, x2代入到表达式中，得到关于 a 的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
【例题 3】二次函数的图像与坐标轴三个交点是(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.
【答案】y=-x2-4x-3.
【解析】∵（-3，0）（-1，0）是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是
y=a(x-x1)(x-x2).(其中 x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3
解得 a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即 y=-x2-4x-3.
知识点 4：特殊条件的二次函数的表达式
【例题 4】已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
【答案】y=2x2－5
【解析】∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
2
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5
注意;y=ax2与 y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
重要：用待定系数法求解二次函数解析式方法总结：
用待定系数法求二次函数的解析式过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
一、单选题（每个小题 4 分，共 32 分）
1．某函数图象刚经过（1，1），该函数的解析式可以是（ ）
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