第十讲 一元一次方程及其解法-【暑假辅导班】新七年级数学暑假精品课程（沪科版）（解析版）

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第十讲 一元一次方程及其解法
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3. 理解并掌握等式的基本性质.
4. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
【基础知识】
一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，一元方程的解也可叫做方程的根.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是方程的解，否则
不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.
【高清课堂：从算式到方程 二、一元一次方程的有关概念】
二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①是一个方程；②必须只含有一个未知数；③含有未知数的项的最高次数是 1；④分母中不含有未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 a≠0，a,b 是常数) .
（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中 a≠0，a,b 是常数）.
1
三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
　　等式的性质 1：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式，即：如果
，那么
　　等式的性质 2：等式的两边都乘同或除以同一个数（除数不能为 0），所得结果仍是等式，即：如果
，那么 ； .
等式的性质 3：如果 ，那么 .（对称性）
等式的性质 4：如果 ， ，那么 .（传递性）
要点诠释：
（1）根据等式的性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
（2）等式性质 1 中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如
x＝0 中，两边加上 得 x＋ ，这个等式不成立；
（3）等式的性质 4 中一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．
3.移项：在解方程的过程中，等号的两边加上（或减去）方程中某一项的变形过程，相当于把方程中某一
项改变符号后，从方程的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.
要点诠释：
移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数
的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项.
四、解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍
数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应
加上括号
2
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大
括号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一
边，其他项都移到方程的另一边(记住
移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类
项
把方程化成 ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
系数化成
1
在方程两边都除以未知数的系数 a，
得到方程的解 ．
不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合
并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意
去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
五、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为 的形式，再分类讨论：
(1)当 时，无解；（2）当 时，原方程化为： ；（3）当 时，原方程可化为：
或 .
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式 ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当 a≠0 时， ；（2）当 a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当 a＝0，b≠0 时，方程无解．
3
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