第十讲一元二次方程单元总结与达标（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第十讲一元二次方程单元总结与达标

【单元知识梳理】

一、一元二次方程的基本概念

1.定义：

只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)的形式，这样的

方程叫做一元二次方程．

2.一般形式：

ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c 为常数，a≠0)

3.项数和系数：

ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c 为常数，a≠0)

一次项： ax2

一次项系数：a

二次项： bx

二次项系数：b

常数项：c

4.注意事项：

(1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为 2；

(3)二次项系数不为 0； (4)整式方程．

二、解一元二次方程的方法

三、一元二次方程在生活中的应用

列方程解应用题的一般步骤：

（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．

（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．

（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决

实际问题．

（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．

（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．

【考点类型总结】

考点一：一元二次方程的定义

考点二：一元二次方程的根的应用

考点三：一元二次方程的解法

考点四：一元二次方程的根的判别式的应用

考点五：一元二次方程的根与系数的关系

考点六：一元二次方程的应用

1.市场销售问题

2.平均变化率问题

3.其他问题

【例题解析】

【例题 1】若关于 x 的方程(m-1)x2+mx-1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（）

A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0

【答案】A

【解析】本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为 0），因此它的

系数 m-1≠0,即 m≠1,故选 A。

【例题 2】若关于 x 的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0 有一个根为 0,则 m= .

【答案】-1

【解析】根据一元二次方程根的定义可知将 x=0 代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把 x=0 代

入就可以得到以 m 为未知数的方程 m2-1=0，解得 m=±1 的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为

“有根必代”.

注意：求出 m 值有两个 1 和-1,由于原方程是一元二次方程，所以 1 不符合，应引起注意.

【例题 3】已知关于

的一元二次方程

2-3

有两个不相等的实数根，则

的取值范围是（）

m 

<2 C.

≥0 D.

【答案】A

【解析】根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 Δ>0,即 42-4×1×（-3

)=16+12

>0,解得

m 

,故选 A.

【例题 4】已知一元二次方程 x2－4x－3＝0 的两根为 m，n，则 m2－mn＋n2＝．

【答案】25

【解析】根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.

故填 25.

【例题 5】某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元，平

均每天能售出 32 件，而当销售价每上涨2 元，平均每天就少售出 4 件.

(1)若公司每天的销售价为

元，则每天的销售量为多少？

（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，

销售价应当为多少元？

【答案】见解析。

【解析】本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为

元.

其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.

（1）32-(x-24) ×2=80-2x;

（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.

解得 x1=25, x2=35.

由题意 x≤28, ∴x=25,即售价应当为 25 元.

一元二次方程单元总结与达标过关检测

本套试卷满分 100 分，答题时间 60 分钟

一、选择题（每小题 4 分，共40 分）

1.下列关于 x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方

程的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

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