第十二讲 平方根-【暑假辅导班】新七年级数学暑假精品课程（浙教版）（解析版）

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第十二讲 平方根
3.1 平方根
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根．
【基础知识】
一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数
x
的平方等于
a
，即
2
x a
,那么这个正数
x
叫做
a
的算术平方根（规定 0 的算术平方根
还是 0）；
a
的算术平方根记作
a
，读作“
a
的算术平方根”，
a
叫做被开方数.
要点：当式子
a
有意义时，
a
一定表示一个非负数，即
a
≥0，
a
≥0.
2.平方根的定义
　 如果
2
x a
，那么
x
叫做
a
的平方根.求一个数
a
的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆
运算.
a
(
a
≥0)的平方根的符号表达为
( 0)a a 
，其中
a
是
a
的算术平方根.
二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：
a
和
a
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0 的平方根和算术平方根均为 0．
要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平
方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.
因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
三、平方根的性质
2
0
| | 0 0
0
a a
a a a
a a
 
 
四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.
1
例如：
62500 250
，
625 25
，
6.25 2.5
，
0.0625 0.25
.
【考点剖析】
例1．7的平方根是（ ）
A．B．C．D．14
【答案】A
【解析】
根据平方根的定义计算即可．
解：7的平方根是： ．
答案： ．
【点睛】
本题考查了平方根，解题注意：平方根和算术平方根的区别：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，
正数为算术平方根．
例2．±是 的平方根的数学表达式是(　　　)
A．B．± =±
C．=± D．± =±
【答案】D
【解析】
由平方根的定义，即可列出式子．
解：∵±是 的平方根，
∴ ；
故选：D．
【点睛】
2
本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题．
例3．一个数的两个平方根分别是 2a1﹣与﹣a+2，则这个数是（　　）
A．﹣1 B．3 C．9 D．﹣3
【答案】C
【解析】
根据一个数的两个平方根的特点，列方程求出 a的值，进而确定这个数．
【详解】
解：由题意得，
a1﹣ ﹣a+2＝0，
解得 a＝﹣1，
所以 2a1﹣＝﹣3，﹣a+2＝3，
即一个数的两个平方根分别是 3与﹣3，
所以这个数是 9，
故选：C．
【点睛】
本题考查平方根，掌握一个非负数的两个平方根互为相反数是解决问题的关键．
例4． 的算术平方根是（ ）
A．B．4 C．D．2
【答案】D
【解析】
首先求出 的值是多少；然后根据算术平方根的含义和求法，求出 的算术平方根是多少即可．
解：∵ =4，
∴ 的算术平方根是： =2，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，解答此题的关键是要明确：①被开方数 a是非负数；②算术平
3
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