第十二讲 二次函数y=ax2的图象和性质（解析版）2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第十二讲 二次函数 y=ax2的图象和性质
【学习目标】
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数 y=ax2的图象，概括出图象的特点.
3.掌握形如 y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用.
【新课讲解】
知识点 1：二次函数 y=ax2的图象及其性质
【问题 1】画出二次函数 y=x2的图象.
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2. 描点：根据表中 x,y 的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
二次函数 y=x2的图象的性质：
1.y＝x2是一条抛物线；
2.图象开口向上；
3.图象关于 y 轴对称；
4.顶点（ 0 ，0 ）；
5.图象有最低点．
【问题 2】画出函数 y=-x2的图象.
1. 列表：在 y = -x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
1
2. 描点：根据表中 x,y 的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = -x2 的图象．
二次函数 y=-x2的图象的性质：
1.y＝-x2是一条抛物线；
2.图象开口向下；
3.图象关于 y 轴对称；
4.顶点（ 0 ，0 ）；
5.图象有最高点。
归纳总结：二次函数 y=ax2 的图象性质
1. 顶点都在原点;
2. 图像关于 y 轴对称;
3.当 a>0 时，开口向上，a 越大，开口越小.
当 a<0 时，开口向下，a 越小（即 a 的绝对值越大），开口越小.
4.对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而增大；
当 x<0 时，y 随 x 取值的增大而减小.
5.对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而减小；
当 x<0 时，y 随 x 取值的增大而增大.
2
知识点 2：二次函数 y=ax2的图象及其性质的应用
二次函数 y＝ax2的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据
图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对
于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
【例题 1】已知二次函数 y=x2．
（1）判断点 A（2，4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标，关于原点 O 的对称点 D
的坐标；
（3）点 B、C、D 在二次函数 y=x2的图象上吗？在二次函数 y=－x2的图象上吗？
【答案】见解析。
【解析】（1）当 x=2 时，y=x2=4，
所以 A（2，4）在二次函数图象上；
（2）点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为（2，-4），点 A 关于 y 轴的对称点 C 的坐标为（-2，4），点 A 关
于原点 O 的对称点 D 的坐标为（-2，-4）；
（3）当 x=－2 时，y=x2=4，
所以 C 点在二次函数 y=x2的图象上；
当 x=2 时，y=－x2=－4，
所以 B 点在二次函数 y=－x2的图象上；
当 x=－2 时，y=－x2=－4，
所以 D 点在二次函数 y=－x2的图象上．
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