第十八章 勾股定理（基础过关）（解析版）

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第十八章 勾股定理（（基础过关）
一、选择题（每小题 4分，共 40 分）
1．三角形三边长分别为①3，4，5②5，12，13③17，8，15④1，3，2．其中直角三角形有（
）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：①32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
④12+（2）2＝32，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2＝c2，那么
这个三角形就是直角三角形．
2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为 1：2：3
B．三边长的平方之比为 1：2：3
C．三边长之比为 3：4：5
D．三内角之比为 3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 30°，60°，90°，所以此三角形是直
角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边
的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理．
3．若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
【分析】化简等式，可得 a2+b2＝c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．
【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．
4．已知直角三角形的斜边长为 10，两直角边的比为 3：4，则较短直角边的长为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．5
【分析】根据两边的比值设出未知数列出方程组解之即可．
【解答】解：设两直角边分别为 3x，4x．
由勾股定理得（3x）2+（4x）2＝100．
解得 x＝2．则 3x＝3×2＝6，4x＝4×2＝8．
∴直角三角形的两直角边的长分别为 6，8．
较短直角边的长为 6．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜
边的平方．
5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm，现有一长为 16cm 的吸管插
入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分 h的取值范围为（　　）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为
16﹣12＝4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯
口外的长度最短．
【解答】解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为 16﹣12＝
4（cm）；
2
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为 5cm，高为 12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为 ＝13cm，则露在杯口外的长度最长为 16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在 3cm 和4cm 范围变化．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中
所处的位置，然后计算求解．
6．已知直角三角形的两条直角边的长分别为 1和2，则斜边的长为（　　）
A．B．C．3 D．5
【分析】直接利用勾股定理计算得出答案．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为 1和2，
∴斜边的长为： ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定
等于斜边长的平方．
7．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．5，12，13 B．9，40，41
C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，4
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：A、52+122＝132，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、92+402＝412，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C、0.52+1.22＝1.32，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
D、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如
果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
8．如图，在平面直角坐标系中，点 P为x轴上一点，且到 A（0，2）和点 B（5，5）的距离相等，
则线段 OP 的长度为（　　）
3
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