第十八讲二次函数与一元二次方程（原卷版）2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第十八讲二次函数与一元二次方程

【学习目标】

1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.

2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.

3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.

【新课讲解】

知识点 1：二次函数与一元二次方程的关系

一般地，当 y 取定值且 a≠0 时，二次函数 y=ax2+bx+c 为一元二次方程. 所以二次函数与一元二次方

程关系密切．比如：已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以解一元二次方程－x2＋

4x=3（即 x2－4x+3=0）．反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为 0，

求自变量 x 的值．

知识点 2：利用二次函数深入讨论一元二次方程

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的关系

【例题 1】已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．

(1)求证：此抛物线与 x 轴总有两个交点；

(2)若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．

【例题 2】已知：抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.

(1)求证：不论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个不同的交点；

(2)设这个二次函数的图象与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2的平方和为 3，求 a 的值．

知识点 3：利用二次函数求一元二次方程的近似解

【例题 3】已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(

)

A．x1≈－2.1，x2≈0.1

B．x1≈－2.5，x2≈0.5

C．x1≈－2.9，x2≈0.9

D．x1≈－3，x2≈1

知识点 4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系

【问题 1】函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么

方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1， x2=3

不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 x<-1 或 x>3

不等式 ax2+bx+c<0 的解集是-1<x<3

【问题 2】函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么

方程 ax2+bx+c=2 的根是 x1=-2， x2=4

不等式 ax2+bx+c>2 的解集是 x<-2 或 x>4

不等式 ax2+bx+c<2 的解集是-2<x<4

【问题 3】如果方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有______个交

点；不等式 ax2+bx+c<0 的解集是多少？

（1）当 a>0 时, ax2+bx+c<0 无解；

（2）当 a＜0 时, ax2+bx+c<0 的解集是一切实数.

本节课的精华总结：

二次函数与一元二次方程过关检测

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