第三讲 解一元二次方程（配方法）（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第三讲 解一元二次方程（配方法）
【学习目标】
1.了解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
【温故知新】
(1) a2+2ab+b2=(a+b)2；
(2) a2-2ab+b2=(a-b)2.
【新课讲解】
知识点 1：配方的方法
二次项系数为 1 的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
想一想：
x
2+
px
+(p/2)2=(
x
+p/2)2
比如：
x
2+4
x
+ = (
x
+ )2
括号里填写啥？
前面括号填(4/2) 2=4
后面括号填 2
知识点 2：用配方法解方程
怎样解方程: x2+6x+4=0？
移项：x2+6x=-4
将方程左边化成完全平方的形式，应该加上一个一次项系数一半的平方，当然了方程右端也要加上这个数。
x2+6x+(6/2)2=-4+(6/2)2
即 x2+6x+(3)2=-4+9
(x+3)2=5
利用直接开平方法就可以求出方程的两个根。
总结归纳方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为 1 的前提下进行的.
配方法的定义：
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法解方程的基本思路：
把方程化为（x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
【例题 1】解方程 x2－8x+1=0
【答案】见解析。
【解析】移项：x2－8x=－1,
1
配方，得 x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得
【例题 2】解方程 2x2+1=3x
【答案】见解析。
【解析】移项：2x2－3x=－1
二次项系数化为 1，得
配方，得
即
由此可得
方程的两个根为
注意：
1.用配方法解一元二次方程时，移项时要移项时需注意改变符号.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为 1；
②左边配成完全平方式；
2
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
规律总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
（1）p>0 时,则 ,方程的两个根为
（2）当 p=0 时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.
（3）当 p<0 时,则方程(x+n)2=p 无实数根.
知识点 3：配方法的应用
【例题 3】应用配方法求 2
x
2 - 4
x
+5 的最小值.
【答案】3
【解析】原式 = 2(x - 1)2 +3
当 x =1 时有最小值 3
【例题 4】如图，在一块长 35m、宽 26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种
花草，要使剩余部分的面积为 850m2，道路的宽应为多少？â
【答案】1m.
【解析】设道路的宽为 xm, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得 x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
解一元二次方程（配方法）过关检测
3
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