第七讲 传播问题与一元二次方程（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第七讲 传播问题与一元二次方程
【学习目标】
1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.
2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模解决问题.
【新课讲解】
知识点 1：传播问题与一元二次方程
1.解决这类传播问题的经验和方法
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
2.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤
3.传播问题实例探索
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
【例题 1】某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感
染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感
染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？
【答案】每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台．
【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，
则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.
解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.
4 轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台．
【例题 2】某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其
1
中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
【答案】见解析。
【解析】设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌
60+60x+60(1+x)x=24000
x1=19，x2=-21（舍去）
∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌.
三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000.
【例题 3】新冠病毒的传染性极强，某地因 1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有 9
人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过 5天的传染后，这个地区
一共将会有多少人患新冠病毒？
【答案】每天平均一个人传染了 2 人，这个地区一共将会有 2187 人患新冠病毒.
【解析】设每天平均一个人传染了 x 人，
1+x+x(1+x)=9，
即（1+x）2=9.
解得 x1=-4 (舍去），x2=2.
9(1+x)5=9(1+2)5=2187
(1+x)7= (1+2)7=2187
答：每天平均一个人传染了 2 人，这个地区一共将会有 2187 人患新冠病毒.
传播问题与一元二次方程过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
一、单选题（每小题 5 分，共 30 分）
1．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有 242 个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了
x
个人，
则
x
满足的方程是（　　）
A．（1+
x
）2＝242 B．（2+
x
）2＝242
2
C．2（1+
x
）2＝242 D．（1+2
x
）2＝242
【答案】C
【解析】根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于
x
的一元二次方程，此题得解．
依题意得：2（1+
x
）2＝242．
2．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1035 张照片，如果全班
有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x+1)=1035 B．x(x-1)=1035 C． x(x+1)=1035 D． x(x-1)=1035
【答案】B
【解析】如果全班有 x 名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有 x 名学生，那么总共送的张数应该是
x（x-1）张，即可列出方程．
∵全班有 x 名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是 x（x-1）=1035．
3．为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：
将倡议书发表在自己的微博上，再邀请
n
个好友转发，每个好友转发之后，又邀请
n
个互不相同的好友转
发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有 111 个人参与了宣传活动，则
n
的值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有 111 个人参与了宣传活动，即可得出关于
n
的一元二次方
程，解之取其正值即可得出结论．
依题意，得：1+
n
+
n
2＝111，
解得：
n
1＝10，
n
2＝﹣11．
4.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了场，则有几个球队参赛？设有 个球
队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D． 5
3
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