第六讲 有理数的乘除法-【暑假辅导班】新七年级数学暑假精品课程（浙教版）（解析版）

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第六讲 有理数的乘除法
2.3-2.4 有理数的乘法 有理数的除法
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
【基础知识】
一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同 0 相乘，都得 0．
要点： (1) 不为 0 的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-
2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有
奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0．
要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于 0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0．反之，如果积为 0，那么至少有一个因数为 0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c
＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：
a(b+c)＝ab+ac．
要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数
相乘．如 abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如
a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆
用”．
二、有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数．
要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2 的倒数是
1
2
，-2 和
1
2
是互相依存的；
(2)0 和任何数相乘都不等于 1，因此 0 没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
1
法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即
1( 0)a b a b
b
 
.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.
要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为 0 没有倒数，所以 0 不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最
后算出结果．
四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算
括号里面的．
【考点剖析】
例1．下列计算正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
根据有理数的乘法法则进行计算，可得正确答案．
① ，故此项不符合题意；
② ，故此项符合题意；
③ ，故此项符合题意；
④ ，故此项不符合题意；
所以正确的有②，③
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了有理数的计算，关键是掌握乘法计算的计算法则．
例2．下列运算过程中，有错误的是（　　）
2
A．（3 4﹣）×2＝3 4﹣×2
B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）
C．9 ×16＝（10﹣）×16＝160﹣
D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]
【答案】A
【解析】
各式计算得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝3×2﹣×2＝6 9﹣＝﹣3，符合题意；
B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；
C、原式＝（10﹣）×16＝160﹣，不符合题意；
D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3．下列说法正确的是（ ）
A．零除以任何数都得 0
B．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定
C．绝对值相等的两个数相等
D．两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数
【答案】D
【解析】
A、任何数包括 0，0除0无意义；B、几个不为 0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定；C、绝对
值相等的两个数的关系应有两种情况；D、根据倒数及乘方的运算性质作答．
解：A、零除以任何不等于 0的数都得 0，故错误；
B、几个不为 0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故错误；
C、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故错误；
3
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