第六讲一元二次方程根与系数的关系（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第六讲一元二次方程根与系数的关系

【学习目标】

1.探索一元二次方程的根与系数的关系.

2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.

【知识回顾】

1.写出一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) 的求根公式

2.怎样用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况

对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)

b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.

b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.

b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.

【新课讲解】

知识点 1：探索一元二次方程的根与系数的关系

1.方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1,x2与 p,q 之间的关系为：

x1+x2= -p , x1 ·x2=q.

2.如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是 x1、 x2，那么，两个根与二次项系数 a、一次项系

数 b、常数项 c 的关系是：

x1+x2=-b/a x1·x2=c/a

满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0.

3.韦达定理：如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为 x1、 x2，那么 x1+x2=-b/a x1·x2=c/a

4.理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程

【例题 1】已知 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为 x1、 x2，证明：x1+x2=-b/a x1·x2=c/a

【答案】见解析。

【解析】 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为 x1、 x2，

所以，

所以两根之和为：

即：x1+x2=-b/a

所以两根之积为：

即：x1·x2=c/a

知识点 2：一元二次方程的根与系数的关系的应用

【例题 2】利用根与系数的关系，求方程 x2 + 7x + 6 = 0 的两根之和、两根之积.

【答案】x1 + x2 =-7 , x1 x2 = 6.

【解析】这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.

Δ =b2 - 4ac = 72 –4×1×6 =25 > 0.

∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么

x1 + x2 =-b/a=-7/1= -7 , x1 x2 =c/a=6/1= 6.

所以 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.

【例题 3】已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.

【答案】方程的另一个根是-3/5 ，k=－7.

【解析】设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1=2 .

所以：x1 · x2=2x2=-6/5

即：x2=-3/5

由于 x1+x2=2+(-3/5) =-k/5

得：k=－7.

答：方程的另一个根是-3/5 ，k=－7.

【例题 4】设 x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且 x12 +x22 =4，求 k 的值.

【答案】0

【解析】由方程有两个实数根，得 Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0

即 -8k + 4 ≥ 0.

由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.

∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.

由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,

解得 k1= 0 , k2 = 4 .

经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.

知识技巧：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,

再整体代入.常见的求值问题需要用到的转化式子:

一元二次方程根与系数的关系过关检测

注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟

一、单选题（每小题 4分，共 32 分)

1.一元二次方程

21 0x ax  

的两实数根相等，则

的值为（）

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