第九讲 几何图形与一元二次方程（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第九讲 几何图形与一元二次方程
【学习目标】
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
【新课讲解】
知识点 1：几何图形与一元二次方程
1.解决问题方法：
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,
找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程。
2.例题解析
【例题 1】如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个
大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长个是多少米？
【答案】羊圈的边长 AB 和 BC 的长个是 20m,20m.
【解析】设 AB 长是 x m.
(100-4x)x=400
x2-25x+100=0
x1=5，x2=20
x=20,100-4x=20<25
x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去)
答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长个是 20m,20m.
【例题 2】一块长方形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5cm 的小正方形，然后把四边折起
来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm3，求铁板的长和宽．
1
【答案】铁板的长 50cm,宽为 25cm.
【解析】设铁板的宽为 x cm,则有长为 2x cm
5(2x-10)(x-10)=3000
x2-15x-250=0
解得 x1=25 x2=-10(舍去）
所以 2x=50
答：铁板的长 50cm,宽为 25cm.
【例题 3】如图，要设计一个宽 20cm,长为 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比
为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
【答案】见解析。
【解析】设横向彩条的宽度 2xcm ,竖彩条的宽度 3xcm
(20-6x)(30-4x)=400
6x2-65x+50=0
几何图形与一元二次方程过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
一、选择题（每小题 5分，共 25 分）
1．如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种
2
植草坪，使草坪的面积为 570m2．若设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32 2x﹣ ）（20 x﹣ ）=570 B．32x+2×20x=32×20 570﹣
C．（32 x﹣ ）（20 x﹣ ）=32×20 570﹣D．32x+2×20x 2x﹣2=570
【答案】A
【解析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为 xm，根据草坪的面积是 570m2，即可列出方程:(32−2x)
(20−x)=570，
2.有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长是第一块宽的 3 倍，宽比第一块的长少 2 米，已知第二
块木板的面积比第一块大 108 ，这两块木板的长和宽分别是（ ）
A．第一块木板长 18 米，宽 9 米，第二块木板长 27 米，宽 16 米
B．第一块木板长 12 米，宽 6 米，第二块木板长 18 米，宽 10 米
C．第一块木板长 9 米，宽 4.5m，第二块木板长 13.5m，宽 7 米
D．以上都不对
【答案】B.
【解析】设第一块木板的宽是 米，则长是 米，第二块木板的长是 米，宽是 米．
根据题意，得：
整理，得： ，
因式分解得， ，
解得， .
∵ 不合题意，舍去．∴ .
∴第一块木板的宽是 6 米，则长是 12 米，第二块木板的长是 18 米，宽是 10 米．故选 B.
3.如图，在
ABCD
中，
AE BC
于
E，
AE EB EC a ，
且
a
是一元二次方程
的根，
则
ABCD
的周长为（ ）
A．
4 2 2
B．
12 6 2
C．
2 2 2
D．
2 2 12 6 2 或
3
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