八年级数学辅导讲义（人教版）专题06 特殊平行四边形重点知识讲义（解析版）

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专题 06 特殊平行四边形重点知识讲义
性质 判定
矩
形
①边——两组对边分别平行且相等；
②角——每个角都是 90°；
③对角线——两条对角线相等且互相平分.
①有一个角是 90°的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有三个角 90°的四边形是矩形.
菱
形
①边——两组对边分别平行且相等，邻边相
等；
②角——两组对角分别相等；
③对角线——两条对角线垂直且互相平分，每
条对角线平分一组对角.
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线垂直的平行四边形是菱形；
③四条边相等的四边形是菱形.
正
方
形
四条边都相等；
四个角都是 90°；
对角线相等且互相垂直平分；
每条对角线平分一组对角；
正方形的中点四边形是正方形；
矩形四个角平分线所成的四边形是正方形.
四边相等，有三个角是直角的四边形是正方
形；
一组邻边相等的矩形是正方形；
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正
1
方形.
几个结论
1. 平行四边形对角线与边关系
AC2+BD2=2（AB2+BC2）
思考：在证明含有线段平分的关系时，考虑勾股定理，而勾股定理离不开直角三角形，故
而需要作垂线构造直角三角形
.
理由：过 A，D分别作 AE⊥BC 于E，DF⊥BC 于F，
则AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2
= AE2+（BC－BE）2+（BC+CF）2+DF2
=AE2+BC2－2BC·BE+BE2+BC2+2BC·CF+CF2+DF2
= AE2+BC2+BE2+BC2+CF2+DF2
=2（AB2+BC2）
2. 对角线互相垂直四边形
四边形 ABCD 对角线，AC⊥BD，
结论：S=AC·BD
AB2+CD2=BC2+AD2
3. 中点四边形
任意四边形中点四边形均为平行四边形
2
对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形
对角线相等的四边形的中点四边形为菱形
对角线垂直且相等的四边形的中点四边形为正方形
4. 三角形一边的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形.
由图，知∠ACB=x+y=90°.
5. 正方形中的“蝴蝶”
四边形 ABCD 为正方形，BN⊥AM，则 BN=AM.
典例解析
1.【特殊四边形判定】
【例 1】（2021·重庆渝中区月考）下列命题中，是真命题的是（　　　）
A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是菱形
【答案】C.
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，A错误；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，B错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；
D、四个角相等的四边形是矩形，D错误；
故答案为：C．
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