八年级数学第18讲特殊三角形的存在性（讲义）解析版

第 18 讲特殊三角形的存在性

本节以一次函数为背景，结合三角形的相关知识，解决特殊的三角形的存在性问题．

要用到分类讨论的思想，对想象力、分析能力和运算能力都有要求，根据题目中的条件利

用等腰三角形或直角三角形的性质进行合理的转化建立方程求解．

模块一：存在全等三角形

知识精讲

全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离

公式构造等量关系，主要的题型是求点的坐标．

例题解析

例 1.如图，直线

AB

与

x

轴、

y

轴分别交于点

A

，点

B

，已知

A

(2，0)，

B

(0，4)，线段

CD

的

两端点在坐标轴上滑动（点

C

在

y

轴上，点

D

在

x

轴上），且

CD

=

AB

．

（1）求直线

AB

的解析式；

（2）当点

C

在

y

轴负半轴上，且△

COD

和△

AOB

全等时，求点

D

的坐标．

【难度】★★

【解析】（1）∵直线

AB

与

x

轴、

y

轴分别交于点

A

，点

B

，

且

A

(2，0)，

B

(0，4)，

∴利用待定系数法，可得：

直线

AB

的解析式为

y=−2x+4

；

（2）∵

A

(2，0)，

B

(0，4)，

∴即

OA=2

，

OB=4

．

∵△

COD

和△

AOB

全等，

∴

OD

=2 或

OD

=4，

∴

D

点的坐标为(2，0)或(4，0)或(－2，0)或(－4，0)．

【总结】本题一方面考察一次函数解析式的求法，另一方面考察有关全等的运用，由于没

有对应关系，注意要分类讨论．

例 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与

x

轴、

y

轴分别交于点

A

，点

B

，点

P

(

x

，

y

)是直线

AB

上一动点（点

P

不与点

A

重合），点

C

的坐标为(6，0)，

O

是坐标原点，

设△

PCO

的面积为

S

．

（1）求

S

与

x

之间的函数关系式；

（2）当点

P

运动到什么位置时，△

PCO

的面积为 15；

（3）过点

P

作

AB

的垂线与

x

轴、

y

轴分别交于点

E

，点

F

，¹是否存在这样的点

P

，使

△

EOF

≌△

BOA

?若存在，求出点

P

¹的坐标；若不存在，请说明理由．

【难度】★★★

【解析】（1）∵直线与

x

轴交于点

A

，

∴ ．

∵点

P

(

x

，

y

)是直线上一动点，

∴ ．

当

x<8

时，

S=1

2×6×

(

−x+8

)

=−3x+24

，

当时，

S=1

2×6×

(

x−8

)

=3x−24

；

（2）令

S=15

，

当

x<8

时，

S=−3x+24=15

，解得：

x=3

，此时，

P

(3，5)，

当时，

S=3x−24=15

，解得：

x=13

，此时，

P

(13，－5)；

（3）∵△

EOF

≌△

BOA

，∴

EO=BO=8

，

FO=AO=8

，

当

E

(8，0)，

F

(0，

－

8)时，则直线

EF

的解析式为

y=x−8

，

令

{

y=−x+8

y=x−8

，解得：

{

x=8

y=0

，∴ ；

当

E

(－8，0)，

F

(0，8)时，则直线

EF

的解析式为

y=x+8

，

2

令

{

y=−x+8

y=x+8

，解得：

{

x=0

y=8

，∴ ．

综上，当△

EOF

≌△

BOA

时，点

P

¹的坐标为或．

【总结】考察动点与面积的结合及全等三角形的性质的综合应用，注意进行分类讨论．

例 3．（2018·上海八年级期末）如图，一次函数

y

=2

x

+4 的图象与

x

，

y

轴分别相交于点

A

，

B

，以

AB

为边作正方形

ABCD

（点

D

落在第四象限）．

（1）求点

A

，

B

，

D

的坐标；

（2）联结

OC

，设正方形的边

CD

与

x

相交于点

E

，点

M

在

x

轴上，如果△

ADE

与△

COM

全等，

求点

M

的坐标．

【答案】（1）

A

（-2，0），

B

（0，4），

D

（2，-2）；（2）

M

（5，0）．

【分析】(1)由于一次函数 y=2x+4 的图象与 x、y 轴分别交于点 A、B，所以利用函数解析式

即可求出 A、B 两点的坐标，然后作 DF⊥x 轴于点 F，由四边形 ABCD 是正方形可以得到

∠BAD=∠AOB=∠AFD=90º，AB=AD，接着证明△BAO≌△ADF，最后利用全等三角形的性质可

以得到 DF=AO=2，AF=BO=4，从而求出点 D 的坐标；

(2) 过点

C

作

CG

⊥

y

轴于

G

，连接

OC

，作

CM

⊥

OC

交

x

轴于

M

，用求点 D 的方法求得点 C 的坐

标为（4，2），得出 OC=2 ，由 A、B 的坐标得到 AB=2 ，从而 OC=AB=AD，根据△

ADE

与△

COM

全等，利用全等三角形的性质可知 OM=AE，即 OA=EM=2，利用 C、D 的坐标求出直线

CD 的解析式，得出点 E 的坐标，根据 EM=2，即可求出点 M 的坐标.

【详解】解：（1）∵一次函数

y

=2

x

+4 的图象与

x

，

y

轴分别相交于点

A

，

B

，

∴

A

（-2，0），

B

（0，4），

∴

OA

=2，

OB

=4，

如图 1，过点

D

作

DF

⊥

x

轴于

F

，

3

八年级数学第18讲特殊三角形的存在性（讲义）解析版

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择:

八年级数学第18讲 特殊三角形的存在性（讲义）解析版

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择:

八年级数学第18讲特殊三角形的存在性（讲义）解析版