八年级数学第12讲梯形及中位线（讲义）解析版

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第12讲梯形及中位线

本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，

求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括

两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．

模块一：梯形及等腰梯形

知识精讲

一、梯形及梯形的有关概念

（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．　　

腰：不平行的两边叫做腰．　

高：梯形两底之间的距离叫做高．　

（2）特殊梯形

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．

特殊梯形

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?

交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．

【等腰梯形性质】

等腰梯形性质定理 1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．

等腰梯形性质定理 2等腰梯形的两条对角线相等．

另外：等腰梯形是轴对称图形；

【等腰梯形判定】

等腰梯形判定定理 1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．

等腰梯形判定定理 2对角线相等的梯形是等腰梯形．

例题解析

例 1．（2019·上海八年级课时练习）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝

60°，AD＝2，AC 平分∠BCD，则 BC 长为( )．

A．4 B．6 C．

√

D．

√

【答案】B

【分析】过点 A 作 AE∥DC，可判断出△ABE 是直角三角形，四边形 ADCE 是菱形，从而求出

CE、BE 即可得出 BC 的长度．

【详解】过点 A 作 AE∥DC，

∵AD∥BC，

∴四边形 ADCE 是平行四边形，

又∵AC 平分∠BCD，

∴∠DAC=∠ACE=∠DCA，

∴AD=CD，

∴四边形 ADCE 是菱形，

∴CE=AD=AE=2，

∵AE∥CD，

∴∠AEB=∠BCD=60°，

又∵∠B=30°，

∴∠BAE=90°，

∴BE=2AE=4，

∴BC=BE+CE=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含 30 度角的直角三角形和梯形，解题的关键

是掌握等腰三角形的判定与性质、含 30 度角的直角三角形和梯形.

例 2．（2018·上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为 30°，腰长为 8，高和

上底相等，则梯形中位线长为（）

A．8 B．10 C．4 D．16

【答案】C

【分析】分析题意画出图形，则 DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由

DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出 DE=4，进而求出 CD 的长度；运用勾股定理得出 AE 和

BF 的长度，易证四边形 CDEF 是平行四边形，得出 EF 的长度，进而得出 AB+CD 的长度，由

梯形中位线的性质，即可解答本题.

【详解】根据题意画出图形，则 DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°.

因为 DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，

所以 DE= AD=4，

所以 CD=4，AE= =4 ，同理 BF=4 .

因为 DE⊥AB，CF⊥AB，

所以 DE∥CF.

因为 CD∥EF，

所以四边形 CDEF 是平行四边形，

所以 EF=CD=4.

因为 CD=4cm，AB=AE+EF+FB=4 +4+4 =8 +4，

所以 AB+CD=8 +4+4=8 +8，

所以梯形的中位线长为 (AB+CD)=4 +4.

故选 C.

【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等

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