八年级数学第11讲 特殊的平行四边形（讲义）解析版

3.0 envi 2025-04-21 13 4 1.38MB 45 页 3知币
侵权投诉
第 11 讲 特殊的平行四边形
平行四边形在边和角上的特殊性，分别得到菱形和矩形，矩形和菱形在边和角上的特
殊性得到正方形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．
从对称性考虑，平行四边形只是中心对称图形，三种特殊平行四边形都既是中心对称
图形又是轴对称图形．计算面积时，菱形和正方形都还能用对角线长的乘积的一半来运算
尤其要掌握当矩形的对角线夹角是 60°时，两对角线和较短的边构成的三角形是等边三角
形，即较短的边长是对角线长的一半．当菱形两边的较小夹角是 60°时，它是由两个等边
三角形合成的，可由等边三角形的特殊性来研究．
模块一：矩形
知识精讲
知识点 1：矩形
1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．
注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．
2. 性质：
矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．
(1) 矩形的四个角都是直角；
(2) 矩形的两条对角线相等．
注意：
(1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成
完全全等的两部分．
(2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．
对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)．
3. 判定：
矩形的判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形．
例题解析
例 1．（2018·上海杨浦区·八年级月考）下列判断一个四边形为矩形的命题中真命题的
是：（ ）
A．对角线互相平分且有一个内角为直角的四边形是矩形.
B．对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是矩形.
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
D．对角线互相平分且互相垂直的四边形是矩形.
【答案】C
【分析】对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边
形是矩形，据此可判断 A、C 选项；根据类似的方法，结合各种特殊四边形对角线的特征，
即可判断 B、D 选项.
【详解】对于 A，对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，故原说法错误；
对于 B，对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法错误；
对于 C，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法正确；
对于 D，对角线相等且互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误.
故选 C.
【点睛】此题考查矩形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
例 2．（2017·上海徐汇区·八年级期末）下列命题中，假命题是（　　）
A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】利用矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可．
解：A、有一组对角是直角且一组对边平行即可得到两组对边平行或四个角均是直角，故此
选项不符合题意；
B、有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，有一个角是直角的平行四
边形是矩形可知此选项不符合题意；
C、有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是直角梯形，故此选项符合题意；
D、有两个内角是直角的且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以能判定其是一个平
行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意．
故选 C．
“点睛”本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决此类题目的关键．举反
例往往是解决此类题目的重要的方法．
例 3．（2019·上海上外附中）判断：三个内角相等的四边形为矩形（______）
【答案】错误
【分析】根据矩形的判定，举出反例即可.
2
【详解】解：反例：三个内角为 80 度的四边形不是矩形，故命题是假命题.
故答案为：错误.
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的几种判定方法是解题的基础，举出
反例是关键．
例 4．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，矩形 ABCD 中，O 是两对角线交点，
AE⊥BD 于点 E．若 OE∶OD＝1∶2，AE＝3cm，则 BE﹦___________cm．
【答案】
【分析】题目条件给出了 AE⊥BD 可以求得∠AEO= ，从而得到 AEO 为直角三角形，已
知 OE∶OD＝1∶2 建立 EO 与 AO 的数量关系，通过勾股定理可求得 OE 的值，便可得出答案．
【详解】∵四边形 ADCD 为矩形
∴OB=OA=OD
又∵OE∶OD＝1∶2
∴OE= OD= OA=BE
∵AE⊥BD
∴在 Rt AEO 中，AE²+OE²=OA² AE²+OE²=(2OE)² 3²+ OE²=(2OE)²
∴OE=
∴BE= OE=
故答案为
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，通过矩形对角线相等的性质和比值关系，
用勾股定理构造直角三角形的边数量关系是解题的关键．
例5．（2019·上海市市西初级中学）如图，在矩形 中， ，点 在
3
八年级数学第11讲 特殊的平行四边形（讲义）解析版.docx

共45页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：初中 价格：3知币 属性：45 页 大小：1.38MB 格式：DOCX 时间：2025-04-21

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 45
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注