八年级数学第5讲 无理方程和二元二次方程组（讲义）解析版

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第 5 讲 无理方程和二元二次方程组
模块一：无理方程
知识精讲
1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
2．解无理方程的一般步骤是去根号，方法是两边同时平方，注意要检验增根的情况．
检验方程的增根从两方面出发：
（1） 根号有意义的条件；
（2） 方程左右是否相等．
例题解析
例 1.（金山 2018 期中 2）下列方程中，无理方程是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
【答案】C；
【解析】根式中被开方数中不含未知数，故 A、B、D 都不是无理方程；而 C、含有根式且
被开方数中含有未知数，这样的方程是无理方程；因此选 C.
例 2.下列方程是哪些是无理方程?
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
【难度】★
【答案】（1），（2），（4）．
【解析】方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
根据无理方程的概念，（1），（2），（4）是无理方程．（3），（5），（6）中被开方
数中没有未知数，不是无理方程．其中（3）是一元二次方程，是整式方程；（5），（6）
都是分式方程．
【总结】考察无理方程的基本概念．
例 3.（松江 2018 期中 15）下列关于 x 的方程中，有实数根的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
【答案】B；
【解析】A、依题得 ，不可能，故方程无实数根；B、 ，故方
程有实数根；C、解得 x=1 是增根，故方程无实数根；D、由 易知无实数根. 因
此答案选 B.
例 4.（浦东四署 2019 期中 3）下列关于 x 方程中，有实数根的是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. .
2
【答案】C；
【解析】A、右边 ，不可能等于 0，故无实数根；B、因为 ，故方程
无实数根；C、原方程可化为 ，解得 ，经检验知方程的根 ；
D、解之得 是增根，故方程无实数根；因此答案选 C.
例 5.判定下列方程是否有实数根：
（1） ；
（2） （
p
为实数）．
【难度】★
【答案】（1）有实数根；（2）没有实数根．
【解析】根据无理方程有意义的条件，要同时满足 ，得到： ，
代入原方程，左边 右边，方程成立，所以该方程有实数根．
（2）中，方程左边 ，而右边 ，所以，左边 右边，故方程没有实数根．
【总结】考察无理方程有意义的前提条件与方程的实数解的关系．
例 6..（浦东四署 2019 期中 7）方程 的根是 .
【答案】 ；
【解析】两边平方得 ，因此 .
例 7.. （松江 2019 期中 13）方程 的解是_____________.
3
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