八年级数学第1讲 一次函数的概念及图像（讲义）解析版

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第 1 讲 一次函数的概念及图像
模块一：一次函数的概念
知识精讲
1、 一次函数的概念
（1） 一般地，解析式形如 （ ， 是常数，且 ）的函数叫做一次函数；
（2） 一次函数 的定义域是一切实数；
（3） 当 时，解析式 就成为 （ 是常数，且 ）这时，
y
是
x
的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；
（4） 一般地，我们把函数 （为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问
题确定．
例题解析
例 1.下列函数中，哪些是一次函数?
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
【难度】★
【答案】（2）、（3）、（4）、（6）．
【解析】判断是否是一次函数，要整理成 的形式，一次函数有 要是一次，
且是整式几个注意点．（1）是二次函数，（5）是分式．
【总结】考查一次函数的基本概念，会判断两个量是否是一次函数关，一般要把关系式整
理成概念的标准形式，找出对应 ．
例 2.（1）已知函数 是一次函数，则
k
的取值范围是_________；
（2）当
m
=________时，函数 是一次函数，且不是正比例函数．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）一次函数 ，所以 ；（2）一次函数
其中， 要是一次，所以 ，又因为是一次函数，不是正比例函数，所以 不能
为 0，
所以 ．
【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解．
例 3.已知一个一次函数，当自变量 时，函数值为 ；当 时， ．求这
个函数的解析式．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】设一次函数解析式为 ，将 两点代入解二元一次方
程组， 解得： ，所以这个函数的解析式为： ．
【总结】考察两点代入法求一次函数解析式，即两点代入转而解二元一次方程组．
例 4.已知一次函数 是一次函数，求实数
k
的值．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】由一次函数的概念可知： ，且 ，解得： 或 ，又因
为 ，所以 ．
【总结】考察一次函数的基本概念，对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的
理解．
例 5．（2020·上海市格致初级中学）如图，正方形
ABCD
的顶点
A
、
B
落在
x
轴正半轴上，
点
C
落在正比例函数
y
＝
kx
（
k
＞0）上，点
D
落在直线
y
＝2
x
上，且点
D
的横坐标为
a
．
（1）直接写出
A
、
B
、
C
、
D
各点的坐标（用含
a
的代数式表示）；
2
（2）求出
k
的值；
（3）将直线
OC
绕点
O
旋转，旋转后的直线将正方形
ABCD
的面积分成 1：3 两个部分，求
旋转后得到的新直线解析式．
【答案】（1）点
A
、
B
、
C
、
D
的坐标分别为（
a
，0）、（3
a
，0）、（3
a
，2
a
）、
（
a
，2
a
）；（2）
k
＝ ；（3）
y
＝（3± ）
x
．
【分析】（1）点 D 的横坐标为 a，则点 D(a，2a)，则 AB＝AD＝2a，进而 求解；
（2）将 C 点坐标代入 y=kx 即可求得 k；
（3）根据题干，可求得直线 OF 的的解析式为 ，当 y=2a 时，可求出点 E(
，2a)，由 S△DEF＝ S 正方形 ABCD，可列方程进而求出 m．
【详解】解：（1）点
D
的横坐标为
a
，则点
D
（
a
，2
a
），
则
AB
＝
AD
＝2
a
，则点
A
、
B
、
C
的坐标分别为（
a
，0）、（3
a
，0）、（3
a
，2
a
），
故点
A
、
B
、
C
、
D
的坐标分别为（
a
，0）、（3
a
，0）、（3
a
，2
a
）、（
a
，2
a
）；
3
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