2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合（考察证明、长度与面积、动点问题等）（三）

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2021 年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合
（考察证明、长度与面积、动点问题等）（三）
1．如图，
AB
是⊙
O
的直径，弦
CD
⊥
AB
于点
E
，
G
是 上一动点，
AG
，
DC
的延长线交于点
F
，连接
AC
，
AD
，
GC
，
GD
．
（1）求证：∠
FGC
＝∠
AGD
；
（2）若
AD
＝6．
①当
AC
⊥
DG
，
CG
＝2 时，求 sin∠
ADG
；
②当四边形
ADCG
面积最大时，求
CF
的长．
2．定义：如果一个三角形中有两个内角 α，β 满足 α+2β＝90°，那我们称这个三角形
为“近直角三角形”．
（1）若△
ABC
是“近直角三角形”，∠
B
＞90°，∠
C
＝50°，则∠
A
＝　 　度；
（2）如图 1，在 Rt△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝3，
AC
＝4．若
BD
是∠
ABC
的平分线，
①求证：△
BDC
是“近直角三角形”；
②在边
AC
上是否存在点
E
（异于点
D
），使得△
BCE
也是“近直角三角形”？若存在，
请求出
CE
的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图 2，在 Rt△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，点
D
为
AC
边上一点，以
BD
为直径的圆交
BC
于点
E
，连结
AE
交
BD
于点
F
，若△
BCD
为“近直角三角形”，且
AB
＝5，
AF
＝3，求
tan∠
C
的值．
3．如图 1，△
ABD
内接于⊙
O
，
AD
是直径，∠
BAD
的平分线交
BD
于
H
，交⊙
O
于点
C
，连接
DC
并延长，交
AB
的延长线于点
E
，
（1）求证：
AE
＝
AD
；
（2）若 ＝ ，求 的值；
（3）如图 2，连接
CB
并延长，交
DA
的延长线于点
F
，若
AH
＝
HC
，
AF
＝6，求△
BEC
的面
积．
2
4．如图，以
AB
为直径作半圆
O
，点
C
是半圆弧的中点，点
P
是 上的一个动点（点
P
不
与点
A
、
C
重合），
BP
交
AC
于点
E
，延长
AP
、
BC
交于点
D
，过点
C
作
CF
⊥
DE
，垂足为
F
．
（1）求证：
CF
是⊙
O
的切线；
（2）若⊙
O
的半径为 1，当点
P
运动到 的三等分点时，求
AE
的长．
5．如图，
AB
是⊙
O
的直径，
D
是 的中点，
DE
⊥
AB
于
E
，交
CB
于点
F
．过点
D
作
BC
的平
行线
DM
，连接
AC
并延长与
DM
相交于点
G
．
（1）求证：
GD
是⊙
O
的切线；
（2）求证：
GD
2＝
GC
•
AG
；
（3）若
CD
＝6，
AD
＝8，求 cos∠
ABC
的值．
3
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