《七年级数学下册基础知识专项讲练（华东师大版）》专题10.11 简单的轴对称图形-角平分线（知识讲解）

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专题 10.11 简单的轴对称图形-角平分线（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
特别说明
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若 CD 平分∠ADB，点 P 是 CD 上一点，且 PE⊥AD 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE＝PF.
要点二、角的平分线的判定
　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
特别说明
用符号语言表示角的平分线的判定：
若 PE⊥AD 于点 E，PF⊥BD 于点 F，PE＝PF，则 PD 平分∠ADB
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
1
（1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E.
　　（2）分别以 D、E 为圆心，大于
1
2
DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C.
　　（3）画射线 OC.
射线 OC 即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形
三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.
三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：△ABC
的内心为
1
P
，旁心为
2 3 4
, ,P P P
，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质
1．如图所示， ， 是 的中点， 平分 ．
（1）求证： 是 的平分线；（2）若 ，求 的长．
2
【答案】（1）详见解析；（2）8cm.
【解析】
【分析】
（1）过点 E分别作 于 F，由角平分线的性质就可以得出 EF=EC，根据 HL 得
，即可得出结论；
（2）根据角平分线和平行线的性质求出 ，根据含 30°角的直角三
角形的性质即可求解.
【详解】
（1）证明：过点 E分别作 于 F，
∴∠DFE= AFE=90°∠．
B= C=90°∵∠ ∠ ，
B= AFE= DFE= C=90°∴∠ ∠ ∠ ∠ ．
CB AB∴ ⊥ ，CB CD⊥．
DE∵平分∠ADC．
EDC= EDF∴∠ ∠ ，CE=EF．
E∵是BC 的中点，
CE=BE∴，
BE=EF∴．
在Rt AEB△和Rt AEF△中，
3
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