《七年级数学下册基础知识专项讲练（华东师大版）》专题10.7 简单的轴对称图形-等边三角形（知识讲解）

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专题 10.7 简单的轴对称图形-等边三角形（知识讲解）
【学习目标】
1. 掌握等边三角形的性质和判定.
2. 掌握含 30°角的直角三角形的一个主要性质．
3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
要点一、等边三角形
等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.　　
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形
包
括等边三角形．
要点二、等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°.
要点三、等边三角形的判定
等边三角形的判定：
　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
要点四、含 30°的直角三角形
含 30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等
于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【典型例题】
类型一、等边三角形
1、如图，已知△ABC 为等边三角形，D 为 BC 延长线上的一点，CE 平分
∠ACD，CE=BD，求证：△ADE 为等边三角形．
1
【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出 AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上
∠DAE=60°，即可证明△ADE 为等边三角形．
【答案与解析】
证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
即∠ACD=120°，
∵CE 平分∠ACD，
∴∠1=∠2=60°，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE 为等边三角形．
【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边
的条件．
举一反三：
2
【变式】等边△ABC，P 为 BC 上一点，含 30°、60°的直角三角板 60°角的顶点落在点 P
上，使三角板绕 P 点旋转．如图，当 P 为 BC 的三等分点，且 PE⊥AB 时，判断
△EPF 的形状.
【答案】
解： ∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形 PEB 中，BE＝
1
2
BP＝
1
3
BC＝PC，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，
∴△BEP≌△CPF，
∴PE＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF 是等边三角形．
2、已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD 的度数.
【答案与解析】
证明：在
ABC
中，
AB＝AC，∠ABC＝60°
　∴
ABC
为等边三角形（有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形）
3
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