《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.15之几何综合小题

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几何图形中的多结论判断题

类型一：三角形

1.如图，等腰△ABC 中， CA=CB=4，∠A CB=120°.点D在线段 AB 上运动(不

与A，B重合) ，将△CAD 与△CBD 分别沿直线 CA，CB 翻折得到△CAP 与

△CBQ.给出下列结论：① CD=CP=CQ； ②∠PCQ 的大小不变； ③△PCQ 面

积的最小值为；④当点 D在AB 的中点时， △PDQ 是等边三角形.其中所有正

确结论的序号是

【解析】①∵将△ CAD 与△ CBD 分别沿直线 CA 、CB 翻折得到 △ CAP 与

△CBQ，

∴CP=CD=CQ，

∴①正确；

②∵将△CAD 与△CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ，

∴∠ACP= ACD∠，∠BCQ= BCD∠，

∴∠ACP+ BCQ= ACD+ BCD= ACB=120°∠ ∠ ∠ ∠ ，

∴∠PCQ=360°-（∠ACP+BCQ+ ACB∠）=360°-（120°+120°）=120°，

∴∠PCQ 的大小不变；

∴②正确；

③如图，过点 Q作QE PC⊥交PC 延长线于 E，

∵∠PCQ=120°，

∴∠QCE=60°，

在Rt QCE△中，sin QCE=QE/CQ∠，

∴QE=CQ×sin QCE=CQ×sin60°=∠

√

CQ，

∵CP=CD=CQ

∴SPCQ△=

CP×QE=

CP×

√

CQ=

√

CD2，

∴CD 最短时，SPCQ△最小，

即：CD AB⊥时，CD 最短，

过点 C作CF AB⊥，此时 CF 就是最短的 CD，

∵AC=BC=4，∠ACB=120°，

∴∠ABC=30°，

∴CF=

BC=2，

即：CD 最短为 2，

∴SPCQ△最小=

√

CD2=

√

×22=

√

，

∴③错误，

④∵将△CAD 与△CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ，

∴AD=AP，∠DAC= PAC∠，

∵∠DAC=30°，

∴∠APD=60°，

∴△APD 是等边三角形，

∴PD=AD，∠ADP=60°，

同理：△BDQ 是等边三角形，

∴DQ=BD，∠BDQ=60°，

∴∠PDQ=60°，

∵当点 D在AB 的中点，

∴AD=BD，

∴PD=DQ，

∴△DPQ 是等边三角形．

∴④正确，

故答案为：①②④．

点评此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等

边三角形的判定，锐角三角函数，极值的确定，三角形的面积公式，解本题的

关键是判断出∠PCQ=120°是个定值；（其实这个题目中还有∠PDQ=60°也是定

值），解本题的难点是确定出△PCQ 面积最小时，点 D的位置．

2.如图，∠E= F=90°∠，∠B= C∠，AE=AF，给出下列结论：

①∠1= 2∠；② BE=CF；③ CD=DN；④△CAN BAM≌△ ，

其中正确结论的序号是______．

【解析】∵∠E= F=90°∠，∠B= C∠，AE=AF，

∴△AEB AFC≌△ ，

∴BE=CF，∠EAB= FAC∠，

∴∠1+ CAB= 2+ CAB∠ ∠ ∠

∴∠1= 2∠，

故①②正确；

∵△AEB AFC≌△

∴AC=AB

又∵∠CAB= CAB∠，∠B= C∠

∴△ACN BAM≌△ ，

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