《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题7几何图形—7.9之手拉手模型直角三角形

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常见的旋转模型：（利用旋转做辅助线的思路）
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点 C旋转过程中（B、C、D不共线）始
终有：
①△BCD ACE≌△ ；② BD AE⊥（位置关系）且 BD=AE（数量关系）；③ FC
平分∠BFE；
1
图1 图2
图3 图4
变式训练 2-1
已知：如图，在△ABC、△ADE 中，∠BAC= DAE=90∠ ∘，AB=AC，AD=AE，
点C. D. E 三点在同一直线上，连接 BD.
(1)求证：△BAD CAE≌△ ；
(2)请判断 BD、CE 有何大小、位置关系，并证明。
变式训练 2-3
如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB= ECD=90∠ ∘，D为AB
边上一点，求证：
(1) ACE BCD△ ≌△ ；(2)2CD2=AD2+DB2
2
【经典例题 1】
【问题探究】
（1）如图 1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
点B，D，E在同一直线上，连接 AD，BD．
①请探究 AD 与BD 之间的位置关系：　 　；
②若 AC＝BC＝
√
10
，DC＝CE＝
√
2
，则线段 AD 的长为　 　；
【拓展延伸】
（2）如图 2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝
√
21
，BC＝
√
7
，CD＝
√
3
，CE＝1．将△DCE 绕点 C在平面内顺时针旋转，
设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线 BD，连接 AD，当点 B，D，E在
同一直线上时，画出图形，并求线段 AD 的长．
【解析】【问题探究】
（1）∵△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，且 AC＝BC，CE＝CD
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠ADC＝∠BEC＝45°
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°
∴AD⊥BD
3
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